從波前間距，看懂接近與遠離時的頻率變化
都卜勒效應
改變波源與觀察者的速度，在 3D 空間中比較前後方波前、接收頻率，以及波源超過音速後形成的馬赫錐。
一、問題與學習目標
救護車沒有改變鳴笛頻率，為什麼靠近與遠離時聽起來不同？
救護車迎面開來時，鳴笛聽起來較尖；經過身旁、逐漸遠離後，聲音又變低。假如警笛一直以相同頻率振動，這個變化從哪裡來？先想想：相鄰兩次發出的聲波，到達你身邊的時間間隔會一樣嗎？
接下來先讓觀察者靜止，從三維波前看波源移動如何改變前後的波長，再讓觀察者移動，比較迎向與遠離波前的差別。最後把波源加速到音速與超音速，辨認原本的穩定頻率公式何時不再適用。
學習目標
- 說明波源接近與遠離時，波前間距和接收頻率如何改變。
- 區分波源頻率與觀察者接收頻率。
- 利用聲波都卜勒公式判斷移動波源與觀察者造成的頻率變化。
- 比較前方與後方觀察者所接收的不同頻率。
- 觀察波源達到或超過音速時，波前如何形成震波與馬赫錐。
二、核心概念與原理
把波源發出的頻率，和觀察者接收到的頻率分開
都卜勒效應描述波源與觀察者相對介質運動時，觀察者接收頻率與波源頻率之間的差異。
波前抵達得越密集，接收頻率越高；抵達得越疏，接收頻率越低。
移動波源與觀察者
觀察者朝波源移動或波源朝觀察者移動，都會提高接收頻率。
馬赫數
M = 1 表示波源達到音速；M > 1 表示波源進入超音速狀態。
波前間距為什麼會改變
波源每隔固定時間發出一個球形波前。若波源保持靜止，每個波前都有同一個中心，向各方向的間距相同。波源向前移動時，下一個波前會從更靠前的位置發出，所以前方波前被壓縮，後方波前被拉開。
觀察者位在波源前方時，較短的波前間距使波峰更頻繁抵達，接收頻率升高；位在後方時，較長的波前間距使接收頻率降低。波源本身仍以原來的頻率發波。
觀察者移動時怎麼判斷
觀察者朝波源移動時，會在相同時間內迎向更多波前，因此接收頻率上升；遠離波源時，遇到波前的速率降低，接收頻率下降。聲波以介質為參考，因此波源速度與觀察者速度在公式中扮演不同角色。
公式中的物理量與正方向
- 觀察者接收頻率，單位為赫茲（Hz）。
- 波源發波頻率；模擬器固定為 5.00 Hz。
- 波在介質中的傳播速率；模擬器以 100 m/s 作為計算值。
- 觀察者遠離波源方向的速度分量；若朝波源移動，此量為負。
- 波源朝向觀察者方向的速度分量；若遠離觀察者，此量為負。
馬赫錐如何形成
當波源速度等於音速，波源會追上自己先前發出的波前；當速度超過音速，波源跑到部分波前前方，不同時刻發出的球形波前包絡成錐面。震波抵達觀察者時，會造成壓力在短時間內明顯改變，形成音爆。
三、操作與實驗
先比較波前疏密，再改變觀察者的運動
調整波源馬赫數與綠色觀察者速度，對照 3D 波前、前後方接收頻率與超音速震波。
先在新視窗開啟純模擬，保持波源起點 0、前方觀察者起點 380。速度滑桿以聲速為單位：0.5 對應 50 m/s；正值向右、負值向左。「重設」會清除波前並回到所選起點，保留速度設定，不會把滑桿恢復預設值。面板頻率依當下位置與速度代入公式，不是逐次偵測波前到達的量測。
操作提示：手機與平板先展開控制面板。按下「開始模擬」後，可切換半實體剖面來看波前間距，或切換綠色觀察者第一人稱視角。
操作任務與實驗步驟
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建立靜止波源的基準
先預測兩人接收的頻率。將波源速度與觀察者速度都設為 0，按「重設」再開始，讓波前展開後暫停。確認發波、前方與後方三個頻率讀值均為 5.00 Hz，並看波前是否以相同中心向外擴散。
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比較前方與後方頻率
保持觀察者速度 0，把波源速度設為 0.5；重設後開始，在波源位置約 100–150 時暫停，確保它尚未越過前方觀察者。先看前密後疏，再核對前方 10.00 Hz、後方約 3.33 Hz；換設定後重新開始，不把舊波前混入比較。
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改變前方觀察者速度
保持波源速度 0.5，先把觀察者速度設為 0.5，重設位置後開始，在相遇前暫停並核對前方 5.00 Hz。再把觀察者速度設為 −0.5，重設後重新開始，在波源位置約 100 前暫停，核對前方 15.00 Hz。正值使前方觀察者向右移動，負值使它向左迎向波源。
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從觀察者位置觀看
在一組已暫停的波前上，開啟與關閉「半實體剖面」及「觀察者視角」，比較內部波前是否更容易辨認，並核對頻率讀值未變。觀察者視角固定在前方觀察者，縮放與重設視角按鈕會停用；關閉後可回到外部視角。視角切換只改呈現，不是另一個物理條件。
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跨過音速門檻
先關閉觀察者視角、把觀察者速度設為 0。波源速度依序設為 1.0、1.5，每次重設後開始，在波源位置約 100–150 時暫停，比較前緣堆疊與錐形包絡面。這時前方顯示「音爆 / 震波」，請描述幾何形狀，不把一般公式在音速附近的發散解讀為無限大的音高。
四、觀察與解釋
前密後疏形成頻率差
波源靜止時，每個波前的中心相同；波源移動後，連續發波的位置改變，前方的波前間距縮短，後方的間距拉長。聲速仍為 100 m/s，發波頻率仍為 5 Hz。波源以 50 m/s 向右移動、兩位觀察者靜止且波源仍在兩人之間時，公式給出前方 10.00 Hz、後方約 3.33 Hz。下面兩圖分別暫停在靜止與移動狀態，請比較波前中心與疏密，不把兩圖當成相同時刻或相同波前數量。
觀察者速度也會改變頻率
觀察者移動不會改變波源已經排出的波前，而會改變自己遇到波前的速率。波源與前方觀察者都以 50 m/s 向右移動、且前後位置尚未交換時，公式的分子與分母同為 50 m/s，接收頻率回到 5.00 Hz；觀察者以 50 m/s 向左迎向波源時，則得到 15.00 Hz。比較前要重設位置，並在相遇前暫停，避免把位置交換後的結果混在一起。
超音速形成震波錐面
當波源達到音速，向前傳播的波前在波源前緣堆疊；超音速時，波源跑到先前波前之外，形成錐形包絡面。模擬器把前方讀值標成「音爆 / 震波」，不是測得無限大的音高。音爆與震波通過觀察者有關，不能只由面板文字判定觀察者已經聽見音爆；此處用畫面辨認幾何形狀。
常見錯誤與迷思
五、整理與應用
重點整理
- 都卜勒效應改變的是觀察者接收到的頻率，不是波源本身的發波頻率。
- 移動波源使前方波前間距縮短、後方波前間距增加。
- 觀察者朝波源移動時接收頻率上升，遠離時接收頻率下降。
- 聲波公式中的波源與觀察者速度都以介質為參考，不能只看兩者的相對速度。
- 波源達到音速會追上波前；超過音速後，波前包絡形成馬赫錐與震波。
延伸思考與挑戰題
- 波源頻率為 5.00 Hz、波源速度為 0.5 Mach，前方與後方靜止觀察者的接收頻率各是多少？請和模擬器的即時數值比較。
- 保持波源速度為 0.5 Mach。為什麼前方觀察者也以 0.5 Mach 同向移動時，接收頻率會回到 5.00 Hz？
- 若前方觀察者改為朝波源移動，公式中的 vo,away 應為正值還是負值？這會如何改變接收頻率？
- 把波源速度從 0.9 Mach 調到 1.1 Mach，波前幾何結構出現了什麼改變？為什麼超音速前方不能再用一般穩態頻率來描述？
