速度在變，提供向心力的角色也一直在變
鉛直面圓周運動
把張力、重力與速度向量畫出來，找出小球完整繞過最高點所需的臨界初速。
一、問題與學習目標
小球剛好到最高點，為什麼還不一定能繞完一圈？
用繩子讓小球在鉛直面繞圈，小球爬得夠高，並不代表繩子能一直拉緊。到了最高點，它仍需要速度來維持向心加速度；若要求的張力變成負值，繩子就無法維持原來的圓周路徑。
先從最低點出發，觀察速度、重力與張力如何隨位置改變，再把受力條件和能量守恆連起來。這樣就能回答最高點至少要多快，以及最低點一開始需要多少速度，最後再比較繩子與軌道的接觸限制。
學習目標
- 在圓周任意位置畫出速度、重力與張力或正向力。
- 以徑向合力建立向心力方程式。
- 使用力學能守恆比較最低點與最高點速度。
- 推導繩子剛好不鬆弛的最高點與最低點臨界速度。
- 比較繩子模式與圓形軌道模式的接觸力差異。
二、核心概念與原理
先畫徑向受力，再用能量連結最低點與最高點
向心力不是額外的一種力，而是所有真實力在朝圓心方向的合力。
先用受力找「最高點至少要多快」，再用能量守恆倒推「最低點一開始至少要多快」。
徑向合力
是繩子張力， 是圓周半徑；\(\theta\) 從最低點量起，正方向取朝圓心。
完整繞圈的最低點臨界速度
是切線速度； 是重力加速度。此式由最高點臨界條件與最低點到最高點的能量守恆得到。
最高點臨界條件
繩子剛好不鬆弛
臨界狀態不是最高點速度為零，而是張力剛好降為零，重力獨自提供向心力。
最低點到最高點
力學能守恆
代入 \(v_{\mathrm{top,min}}^2=gR\)，可得 \(v_{\mathrm{bottom,min}}=\sqrt{5gR}\)。質量 \(m\) 會消去，所以臨界速度與質量無關。
三個特殊位置
| 位置 | 繩子模式張力 | 速度 | 能量狀態 |
|---|---|---|---|
| 最低點 | \(T=mg+mv^2/R\) | 最快 | 動能最高 |
| 水平位置 | \(T=mv^2/R\) | 介於兩者 | 動能轉為位能 |
| 最高點 | \(T=mv^2/R-mg\) | 最慢 | 位能最高 |
三、操作與實驗
從最低點出發，比較足夠、接近臨界與不足的初速
切換繩子與圓形軌道模式，調整初速、半徑與質量，觀察張力或正向力、速度及能量如何隨位置改變。
本篇先固定繩子模式、最低點出發，再比較速度。滑桿以 0.1 m/s 為步距，理論臨界值通常不能精確輸入；請把臨界附近的動畫當作數值近似，再由公式核對。暫停後先重置，再改初速、半徑或質量，避免把新設定混進原運動。
操作提示：選擇繩子或圓形軌道模式，設定出發位置、\(v_0\)、\(R\) 與 \(m\)；展開力學能圖，比較初速高於、等於與低於臨界值的結果。
操作任務與實驗步驟
從最低點以足夠初速出發
先預測：由最低點爬升時，速度與張力會增加還是減少？ 選擇繩子模式，讓初速高於臨界值，觀察最低點、水平位置與最高點的速度及張力。
設定剛好臨界
先預測：最高點張力接近零時，小球速度也會接近零嗎？ 設 R＝2 m、m＝1 kg、最低點出發，先算理論臨界值約 9.90 m/s，再用臨界附近的可選初速比較。數值積分與滑桿步距不保證能精確看到 T＝0；理論條件仍由公式判斷。
讓繩子鬆弛
先預測：初速不足時，小球會往回擺，還是會鬆繩？ 保持 R＝2 m、m＝1 kg，分別重置後用 6.0 與 8.0 m/s 從最低點出發，觀察低速擺回與上半圈鬆繩的差別；鬆繩瞬間速度沿切線，之後路徑受重力彎曲。
比較不同質量
先預測：同樣半徑下增加質量，臨界初速與張力會如何改變？ 改變 \(m\) 並重做臨界實驗，確認臨界初速是否改變，同時比較張力大小。
切換圓形軌道模式
先預測：軌道提供的正向力與繩子張力，有哪些接觸條件需要分開判斷？ 觀察最高點正向力的方向，並比較軌道接觸力與繩子張力的限制。
四、觀察與解釋
最低點最快、張力最大
在繩子拉緊、忽略阻力的運動中，上升時動能轉成重力位能，所以最低點速度最快。最低點朝圓心的方向向上，張力除了抵銷向下的重力，還要提供徑向合力；因此同一次繞圈運動的張力在最低點最大。下面比較同一次運動的最低點與接近最高點。
最高點不是停下來
最高點朝圓心的方向向下，重力與張力同向。臨界時張力降到零，由重力獨自提供向心力，速度仍須為 \(\sqrt{gR}\)。再把上升 \(2R\) 所增加的位能代入能量守恆，才得到最低點的 \(\sqrt{5gR}\)。所以「剛好能到那個高度」與「仍能保持圓周運動」是兩個要同時檢查的條件。
初速不足，先分清擺回與鬆繩
初速低於完整繞圈的臨界值，未必每次都會鬆繩。若速度很低，小球可以先減速再往回擺；若已進入上半圈，卻無法維持非負張力，才會鬆繩。離開圓周的瞬間速度沿當時切線，接著受重力作用，路徑會彎成拋體軌跡，並非一路沿切線直線飛行。
常見錯誤與迷思
五、整理與應用
重點整理
- 鉛直面圓周運動通常不是等速運動，速度會隨高度改變。
- 向心力是徑向合力，不是額外新增的一種力。
- 繩子模式的最高點臨界條件為 \(T=0\) 與 \(v_{\mathrm{top}}=\sqrt{gR}\)。
- 由能量守恆可得最低點臨界速度 \(v_{\mathrm{bottom}}=\sqrt{5gR}\)。
- 臨界速度與質量無關，但同一運動狀態下的張力會與質量成比例。
延伸思考與挑戰題
- 把繩子模式的初速設定為臨界值，最高點張力是多少？為什麼不是負值？
- 圓形軌道模式中，小球在最高點所受的正向力方向如何由「位於軌道內側或外側」決定？
- 質量增加為兩倍時，臨界初速與最低點張力各如何改變？
- 繩子鬆弛後，小球為何沿切線方向離開？請用速度向量說明。
第二題先討論接觸面的受力方向。本模擬器的軌道模式以朝圓心的非負正向力判斷是否維持接觸，沒有內側／外側切換；不能把畫出的軌道兩條邊線當成兩種接觸模型。
