改寫距離律，觀察軌道如何回應
變種引力
如果引力不再與距離平方成反比，行星還能維持熟悉的軌道嗎？調整距離次方與發射初速，用一場中央力思想實驗找出答案。
一、問題與學習目標
如果引力不是平方反比，行星的路徑會怎樣？
常常有學生問我：「為什麼萬有引力與距離的二次方成反比？如果不是二次方，會怎樣？」課本告訴我們萬有引力遵守平方反比律，但「平方」究竟重要在哪裡？只看公式，很難想像指數從 2 改成 1、2.5 或 3 之後，行星的路徑會發生什麼變化。
這篇文章把引力距離律改寫成可調整的模型。你可以固定起始位置，改變次方 \(n\) 與發射初速，觀察天體形成軌道、進動、墜向恆星或脫離束縛，進而理解力隨距離改變的快慢如何塑造運動。
學習目標
- 說明距離律次方 \(n\) 如何控制引力隨距離衰減的快慢。
- 比較 \(n>2\)、\(n=2\) 與 \(n<2\) 時，遠近位置的相對引力差異。
- 操作模擬器，觀察次方與發射初速如何共同影響軌道。
- 辨認「變種引力」是中央力思想實驗，而不是對真實萬有引力定律的修改。
二、核心概念與原理
改變 \(n\)，就是改變「靠近時增強、遠離時減弱」的速度，軌道因此被重新塑形。
先分清楚距離律與發射條件
次方 \(n\) 決定引力對距離有多敏感；發射初速則決定天體能否在這個引力場中保持束縛。
變種引力模型
\(n\) 越大，引力隨距離增加而減弱得越快。
真實萬有引力
當 \(n=2\) 時，模型回到牛頓的平方反比律。
次方 \(n\) 改變了什麼？
把距離放大為原來的 \(k\) 倍，引力就變成原來的 \(1/k^n\)。例如距離加倍時，\(n=1\) 的引力剩下 \(1/2\)，\(n=2\) 剩下 \(1/4\)，而 \(n=3\) 只剩下 \(1/8\)。因此 \(n>2\) 時，遠處的吸引相對更弱、近處的吸引相對更強；\(n<2\) 時，引力在遠處衰減得比較慢。
模擬器中的關鍵量
- 中央天體與行星之間的引力大小，方向永遠指向中央天體。
- \(r\)行星與中央天體的距離。
- \(n\)距離律次方，可在模擬器中由 −1.0 調整到 3.0。
- \(v_0\)行星的發射初速；大小與方向可共同決定後續路徑。
幾個值得比較的特殊情況
\(n=0\) 時，引力大小不隨距離改變；\(n=-1\) 時，公式中的 \(r^{-1}\) 出現在分母，等價於力的大小與 \(r\) 成正比，呈現類似理想彈簧的中央力。模擬器也提供 \(n=1\)、2.5 與 3 的預設，方便直接比較軌跡。
三、操作與實驗
選擇特殊軌跡預設，或自行拖曳行星與紅色速度箭頭，再按下「發射」比較不同距離律。
操作提示：白色虛線是預測路徑，藍色實線是已走過的軌跡。每次改變條件後先按「重置位置」，再發射並等待軌跡形成。
操作任務與實驗步驟
先預測距離律改變後，行星每次靠近中央天體的轉向是否相同，再按以下步驟操作。特殊預設也會改變初速，適合辨認軌跡；要把差異歸因於次方，則要固定起始位置和速度再比較。
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建立平方反比律基準
將引力次方設為 \(n=2.00\)，保留預設位置與初速，按下「發射」，記錄軌跡是否保持束縛。
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依序比較三種進動軌跡
分別選擇「螺旋軌道」「花瓣軌道」與「玫瑰軌道」預設；每次發射後比較藍色歷史軌跡的形狀與轉向方式。
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比較恆定引力與彈簧型中央力
先操作 \(n=0\) 的「恆定引力」，再操作 \(n=-1\) 的「彈簧軌道」，觀察力不衰減與隨距離增強時的路徑差異。
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測試發射初速的角色
選定同一個 \(n\)，只改變發射初速或拖曳紅色速度箭頭。嘗試找到保持束縛、墜毀與脫離束縛的不同條件。
固定發射條件，只比較次方
將發射初速設為 26.0，按「重置位置」得到相同切向發射。先設 n=2.00 再發射，觀察後重置；保持初速 26.0，再設 n=2.50 發射。下方兩張畫布就是這組條件，與特殊預設的整組比較分開判讀。
四、觀察與解釋
\(n=2\) 是比較基準
下圖保持相同起始位置、切向速度 26.0 與畫布範圍，只改變 n。平方反比的軌跡作為基準，n=2.5 則顯示繞行方向逐次轉動。藍線是已走過的路徑，白色虛線是模型的預測；畫布沒有真實時間或 SI 單位刻度，不能用截圖估算實際行星的週期。
平方反比律提供熟悉的束縛軌道基準；改變 \(n\) 後，即使起始位置相近，路徑也會明顯改變。
次方會改變軌道轉向
不同預設會形成螺旋、花瓣、玫瑰或橢圓等路徑，顯示距離律會改變每次接近中央天體後的轉向程度。
初速同樣不可忽略
在相同距離律下，速度不足可能墜毀，速度過大則可能脫離束縛；軌道不是只由 \(n\) 單獨決定。
常見錯誤與迷思
五、整理與應用
重點整理
- 變種引力模型以 \(F=GMm/r^n\) 比較不同的距離律。
- \(n=2\) 對應真實萬有引力的平方反比律。
- \(n\) 越大，引力隨距離增加而衰減得越快。
- \(n=0\) 代表引力大小固定；\(n=-1\) 代表力與距離成正比。
- 距離律、起始位置、速度大小與方向會共同決定軌道。
延伸思考與挑戰題
- 距離變成原來的 2 倍時，\(n=1\)、\(n=2\) 與 \(n=3\) 的引力各變成原來的幾倍？
- 為什麼 \(n=0\) 代表恆定引力，而 \(n=-1\) 會得到大小與距離成正比的中央力？請直接從指數運算說明。
- 固定同一個次方與起始位置，只改變速度箭頭方向，預測哪些方向比較容易形成繞行，哪些方向比較容易直接墜向中央天體。
- 若圓軌道需要滿足 \(mv^2/r=GMm/r^n\)，試著推導圓軌道速度 \(v\) 與半徑 \(r\) 的比例關係。
