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從 \(mgh\) 走向天文尺度的位能

重力位能一般式

用 F–r 圖的面積看懂變力作功，釐清負號、零點與兩位置之間的位能變化。

力學 高中物理 閱讀 8 分鐘

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星球旁的物體與力距離曲線，呈現重力位能一般式
萬有引力會隨距離改變，因此重力作功要由 F–r 圖的面積求得，不能直接套用固定力乘位移。

一、問題與學習目標

物體遠離星球，為什麼引力變小，位能卻變大？

把物體從地面抬高時，常用 \(mgh\) 計算位能變化。但若一路移到衛星甚至逃逸的距離，重力不再近似固定。同時，公式 \(U_g=-GMm/r\) 又告訴我們：越遠離星球，位能反而越接近零、數值越大。

這裡要分開看引力大小與位能數值。引力決定重力對位移所做的功，位能則要先選零點，才能比較不同位置。這篇以無窮遠為零點，用 F–r 曲線下面積連結變力作功，再比較同一段路徑向外與向內移動時的正負號。

學習目標

  • 說明為什麼天文尺度不能直接使用 \(mgh\)。
  • 由萬有引力的 F–r 圖理解變力作功。
  • 解釋以無窮遠為零點時，重力位能為負的原因。
  • 計算兩個半徑位置之間的重力位能變化。
  • 使用 \(W_g=-\Delta U_g\) 判斷重力作功正負。

二、核心概念與原理

先選位能零點，再用作功判斷能量變化

以無窮遠為位能零點，兩物體相距有限時，重力位能低於零；往外移動時位能增加，往內移動時位能降低。

負號表示位能低於所選的無窮遠零點。比較運動與作功，要看位能差；是否能逃離引力，還需要把動能一起納入。

重力位能一般式

$$ U_g=-\frac{GMm}{r} $$

是萬有引力常數，\(M\) 與 是兩物體質量； 越小，位能越負；\(r\to\infty\) 時，\(\to0\)。

重力作功

$$ W_g=-\Delta U_g $$

為正時位能降低；重力做負功時位能增加。

從變力作功到位能

萬有引力會隨距離改變

$$ F=G\frac{Mm}{r^2} $$

在 F–r 圖上，兩個距離之間曲線下的面積代表重力作功的大小。因為 \(F\) 不是定值，不能直接把整段路程套成 \(F\Delta r\)。

兩點之間的位能變化

物體由 A 點移到 B 點

$$ \Delta U_g=GMm\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right) $$
  • \(r_B>r_A\)物體遠離星球，\(\Delta U_g>0\)，重力做負功。
  • \(r_B<r_A\)物體靠近星球，\(\Delta U_g<0\)，重力做正功。
  • \(r\to\infty\)位能趨近 0，符合零點設定。

三、操作與實驗

比較同一段距離，遠離與靠近的作功正負

拖動小質量並觀察 F–r 圖，直接把「曲線下面積」與重力作功、位能變化連在一起。

模擬器採示意尺度：質量顯示為「單位」、距離以 R 表示，作功與位能讀值用來比較正負及比例，不直接當作 SI 制的焦耳數值。畫布灰框呈現面積大小，帶正負號的作功與位能變化請看操作面板讀值。

操作提示：調整 \(M\)、\(m\) 與位置；在「無窮遠移至 r」及「兩點之間 A→B」兩種模式間切換，比較曲線面積與位能變化。

操作任務與實驗步驟

  1. 觀察 F–r 曲線

    先預測：靠近星球時，引力會等速增加，還是越來越快地增加？ 保持質量不變，從遠處逐步靠近星球，確認引力是否以非線性方式快速增加。

  2. 連結面積與作功

    先預測：從無窮遠移到更靠近星球的終點，重力做的功會更多還是更少？ 在「無窮遠移至 r」模式拖動小質量，比較不同終點所對應的曲線面積。

  3. 比較 A、B 兩點

    先預測：向外移動時，重力方向與位移同向嗎？ 切換到 A→B 模式，先設定 \(r_B>r_A\)，記錄重力作功及 \(\Delta U_g\) 的正負。

  4. 反向移動

    先預測：把同一段路徑反過來，重力作功與位能變化的正負會如何改變？ 改成 \(r_B<r_A\)，檢查作功與位能變化的正負是否互換。

  5. 改變質量

    先預測：距離不變，把其中一個質量加倍，曲線與面積會如何改變？ 分別增加 \(M\) 或 \(m\)，觀察 F–r 曲線與面積是否按質量成比例放大。

四、觀察與解釋

靠近時引力急遽增加

靠近星球時，\(1/r^2\) 使引力迅速增加，F–r 曲線呈現彎曲的反平方關係。兩點間曲線下面積給出重力作功的大小；因為力隨位置變化，不能把整段位移直接當成同一個力乘上距離。改變 \(M\) 或 \(m\)，曲線高度與面積會隨質量成比例改變。

遠離時位能增加

回到開頭的問題：從較近的 A 點向較遠的 B 點移動，重力指向星球，與位移方向相反，所以重力做負功。由 \(W_g=-\Delta U_g\) 可知位能增加，從較負的數值往零靠近。引力變小與位能變大描述不同物理量，並不矛盾。

靠近時重力做正功

把相同兩個位置的起點、終點交換，位移方向改為朝向星球，重力便做正功，位能降低。若物體自由運動且只有重力作功，降低的位能會轉成動能；這個模擬器則由你設定位置與質量，顯示作功與位能差。曲線的幾何面積始終非負，判斷作功正負時，還要看移動方向。

星球右方的 A 位於三倍半徑處，B 位於六倍半徑處；藍色位移箭頭朝右、紅色重力箭頭朝左，下方引力距離曲線標出兩點間的陰影面積。
圖 1｜由 3R 移到 6R：重力作負功。兩質量維持模擬器預設的 10 與 5 單位。由 A 移向 B 時，位移朝右、重力朝左，作功為負、位能增加。藍色陰影與灰框中的絕對值表示作功大小，正負號由方向判斷。
A 位於六倍半徑處，B 位於三倍半徑處；藍色位移與紅色重力箭頭都朝左，引力距離曲線兩點間的陰影面積與向外移動時相同。
圖 2｜由 6R 移到 3R：重力作正功。交換起終點，質量與兩端距離不變。位移與重力都朝左，作功改為正、位能降低。曲線下的陰影面積相同，作功與位能變化的正負號都與圖 1 相反。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 天文尺度的重力是變力，作功要由積分或 F–r 圖面積求得。
  • 以無窮遠為零點時，重力位能為 \(U_g=-GMm/r\)。
  • 有限距離的重力位能低於無窮遠零點；判斷是否能逃逸，還須考慮動能與總機械能。
  • 遠離星球時位能增加，靠近星球時位能降低。
  • 重力作功與位能變化滿足 \(W_g=-\Delta U_g\)。

延伸思考與挑戰題

  1. 低軌道衛星的軌道半徑近似為地球半徑 \(R\)。請比較它的重力位能、動能與總機械能。
  2. 利用 \(U_g=-GMm/r\) 與能量守恆，推導物體由星球表面逃到無窮遠所需的最小初速。
  3. 在模擬器把 \(M\) 調大、\(r_A\) 調小，再逐步拉遠 \(r_A\)。F–r 圖面積如何改變？
  4. 若位能零點改選在星球表面，\(U_g\) 的公式會如何改寫？物理預測會改變嗎？