虎克定律與彈簧串並聯：從位移看懂回復力

一、問題與學習目標

彈簧變多，為什麼有時更軟、有時更硬？

拿一根彈簧，輕輕拉動右端；拉得愈長，維持它所需的力也愈大。如果再加一根彈簧，結果就只由根數決定嗎？把兩根首尾相接，與把兩根並排接在同一塊連接板上，會得到不同的受力與形變。

這篇先從單一彈簧建立方向與正負號，再比較串聯與並聯。操作時先固定整組形變量，觀察需要多少手施力；接著才回答「在相同施力下，哪一組更容易拉長」。

學習目標

判讀從原長端點量起的形變量 Δx，區分伸長與壓縮。
說明回復力的方向，並區分回復力與手施力。
利用串聯的受力條件、並聯的位移條件，推導等效彈性常數。
比較相同形變量或相同施力下，不同連接方式的差異。

二、核心概念與原理

先找原長，再量形變量

原長是彈簧未受拉伸或壓縮時的長度。固定左端、取向右為正時， = L − L₀：伸長為正，壓縮為負。畫布上的直立虛線只標示原長時端點的位置；形變箭頭從這個位置畫到現在的端點，不能把彈簧目前的全長當成 Δx。

串聯先找相同的力，並聯先找相同的位移；找對條件，等效公式就能自己推導。

虎克定律

$$F_{\text{回}}=-k\Delta x$$

回復力與形變方向相反；彈性常數 k 的單位是 N/m。

兩根彈簧串聯

$$k_{\text{等}}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$$

各彈簧承受相同大小的軸向力，整組形變量為各段形變量之和；若兩根的彈性常數都是 k，則 $k_{\text{等}}=k/2$。

兩根彈簧並聯

$$k_{\text{等}}=k_1+k_2$$

同一連接板讓各彈簧形變量相同，整組回復力為各彈簧回復力之和；若兩根的彈性常數都是 k，則 $k_{\text{等}}=2k$。

負號表示方向，不是力變小

右端向右拉，Δx > 0，彈簧的回復力向左；向左壓，Δx < 0，回復力向右。k 愈大，要維持相同形變所需的力愈大。這個線性關係適用於彈簧近似符合虎克定律的範圍；真實彈簧過度形變或線圈互相接觸後，不能繼續直接套用。

把右端停住、忽略其他水平力時，手施力與彈簧對右端的回復力平衡，因此 $F_{\text{手}}=+k\Delta x$。兩個力大小相等、方向相反，合力為零，並不表示各自沒有力。這裡談的是同一右端的受力平衡；作用力與反作用力則作用在不同物體上。回復力的方向與線性關係可參考 OpenStax 虎克定律章節。

串聯：同樣的力，分配到不同形變量

考慮兩根首尾相接的理想彈簧，連接點質量忽略，並在靜態或準靜態下分析。若連接點兩側的拉力大小不同，它就不能維持平衡，因此兩根承受相同大小的軸向力 T。較小的 k 需要較大的形變量才能提供同樣大小的力。

在伸長情況下：

$$\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2=\frac{T}{k_1}+\frac{T}{k_2}$$

再與 $\Delta x=T/k_{\text{等}}$ 比較，就得到兩根彈簧的串聯公式：

$$\frac{1}{k_{\text{等}}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$$

推廣到 n 根串聯，各彈性常數的倒數相加：

$$\frac{1}{k_{\text{等}}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{k_i}$$

若 n 根的彈性常數都是 k，則 $k_{\text{等}}=k/n$。因此，相同彈簧串聯愈多根，整組愈容易形變。

並聯：同樣的形變量，分擔不同大小的力

本模擬器的並聯彈簧原長相同，左端固定，右端接在共同連接板上；連接板只水平移動，所以每根的形變量都等於整組 Δx。對相同形變，k 較大的彈簧提供較大的回復力，並不一定平均分擔。

$$F_{\text{回}}=F_1+F_2=-(k_1+k_2)\Delta x$$

與 $F_{\text{回}}=-k_{\text{等}}\Delta x$ 比較，就得到兩根彈簧的並聯公式 $k_{\text{等}}=k_1+k_2$。推廣到 n 根並聯，各彈性常數直接相加：

$$k_{\text{等}}=\sum_{i=1}^{n}k_i$$

若 n 根的彈性常數都是 k，則 $k_{\text{等}}=nk$。因此，相同彈簧並聯愈多根，整組愈不容易形變。相同條件下，這些線性關係也適用於壓縮；可對照德州大學的串並聯彈簧示範。

三、操作與實驗

先固定形變量，比較需要的手施力

先保持「放手回彈」關閉，讓畫面停在指定形變。每一步都先預測，再用畫布上的位移與力驗證。

拖曳右側的手，或用形變量滑桿精確設定；手機可點面板標題展開參數。壓縮時以推桿表示施力，繩子本身無法推壓。

操作任務與實驗步驟

用單一彈簧建立方向
選「單一」，設定 k = 20 N/m。從原長向右拉，再向左壓，觀察 Δx 與回復力的箭頭。以滑桿分別設定 +10.0 cm 和 −10.0 cm，比較力的大小與方向；放手後預設保留形變。
比較相同形變量下的串聯
選「串聯」，用新增或移除按鈕保持兩根，設定 k₁ = 20 N/m、k₂ = 40 N/m，整組 Δx = +10.0 cm。預測哪根伸長較多，再讀取兩根的形變量與回復力，並檢查下方等效彈簧的 k。
只改連接方式，觀察並聯
保持兩根的 k 與整組 Δx，切成「並聯」。比較兩根形變量是否相同、回復力是否相同，以及手施力如何改變。留意下方等效圖與上方整組具有相同形變及整組回復力。
新增彈簧，檢查你的規則
在串聯或並聯中逐根新增，最多四根；每次都確認新彈簧的 k，並維持相同整組 Δx。預測手施力變大或變小，再用等效 k 解釋。按「重設實驗」會回到原長，保留目前模式與根數，並將各 k 恢復為 20 N/m。
最後再觀察放手回彈
開啟「放手回彈」，用手拖開彈簧後放開。觀察手施力消失、彈簧向原長回復並逐漸停下。完成後關閉開關，再回到靜態比較；回彈過程不能繼續把手施力與回復力當成一對平衡力。

四、觀察與解釋

同樣拉長 10 cm，哪一組需要較大的力？

以下是依理想模型計算的對照值，可用前面的設定核對畫布讀值；不是實體量測數據。代入公式前，先把 10.0 cm 換成 0.100 m。表中的回復力列大小，方向皆向左；手施力則向右。

整組 Δx = +10.0 cm；單位為 N/m、cm 與 N，數值經四捨五入。
連接與設定	等效 k	各段 Δx	各段回復力大小	手施力大小
單一：k = 20	20	+10.0	2.00	2.00
串聯：k₁ = 20、k₂ = 40	13.33	+6.67、+3.33	1.33、1.33	1.33
並聯：k₁ = 20、k₂ = 40	60	+10.0、+10.0	2.00、4.00	6.00

串聯的兩段形變相加才是整組的 10 cm；並聯的每一根都形變 10 cm，不能再相加成 20 cm。串聯中較軟的第一根伸長較多；並聯中較硬的第二根分擔較大的力。

換成相同施力，比較會反過來

由 $\Delta x=F_{\text{手}}/k_{\text{等}}$ 可知，在相同向右施力下，等效 k 較小的組合伸長較多。因此串聯更容易拉長，並聯更不容易拉長。「更軟」指同樣的力造成較大形變，不能只看圖上彈簧畫得較長或較短。

下方等效彈簧代表整組的效果

等效彈簧把整組「端點位移與整組回復力的關係」濃縮成一根彈簧。它不代表其中任一根的形變，也不是額外加上的另一根；單一模式就不必再畫等效圖。等效關係以同樣的連接條件與線性假設為前提。

常見錯誤與迷思

這個模型能說明到哪裡？

靜態比較採理想線性彈簧，忽略彈簧與連接件的質量，也不模擬永久變形、線圈碰撞或斷裂。「放手回彈」另加入有效慣性與阻尼，展示逐漸回到原長的過程；它不是無阻尼的理想簡諧運動，也不適合用來量測真實彈簧的振動週期。預設關閉回彈時，放手保留位置是便於比較讀值的教學功能。

五、整理與應用

重點整理

Δx 從原長量起：伸長為正，壓縮為負；回復力方向相反。
端點靜止、忽略其他水平力時，手施力與回復力等大反向。
串聯：各段受力大小相同、形變量相加，等效 k 小於任一根。
並聯：各段形變量相同、回復力相加，等效 k 等於各 k 之和。
比較軟硬前先說清楚：固定施力，還是固定整組形變量。

延伸思考與挑戰題

兩根 k 都是 20 N/m 的彈簧，分別串聯與並聯。若整組都拉長 10 cm，需要的手施力大小各是多少？請先推導，再用模擬器檢查。
兩根 k 分別為 20 與 40 N/m。串聯時哪根伸長較多？並聯時哪根回復力較大？兩個比值各是多少？
把第一題的伸長改成壓縮 5 cm，哪些數值大小會改變？哪些箭頭會反向？說明你的正負號約定。