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每一份質量，都在改變周圍空間的重力場

萬有引力與重力場

從反平方定律出發，觀察多質點重力場，再用卡文迪西扭秤量出極微弱的引力。

力學 高中物理 閱讀 9 分鐘

最後更新

宇宙背景中的質量球與重力場向量，呈現萬有引力的方向與分布
引力看不見，但可以用空間中每一點的重力場向量，把它的方向與強弱畫出來。

一、問題與學習目標

任何兩個物體都互相吸引，為什麼平常感覺不到？

地球能讓物體落下，兩個普通物體卻很少讓我們感覺到彼此拉扯。牛頓的萬有引力定律說，有質量的物體會互相吸引；差別在於質量、距離，以及比例常數 \(G\) 的大小。

要把這個看不見的作用說清楚，可以先問某個位置的重力場朝哪裡，再問放入物體後會受多大的力。這篇先用沙盒比較單一場源與多個場源的向量，再操作卡文迪西扭秤，觀察微小引力如何轉成扭轉角與光點偏移。

學習目標

  • 使用萬有引力定律判斷質量與距離對引力的影響。
  • 區分萬有引力與重力場強度，並說明兩者的關係。
  • 用向量疊加判斷多個場源共同產生的重力場。
  • 解釋卡文迪西扭秤如何將微小引力轉換為扭轉角。
  • 說明為什麼萬有引力在日常尺度微弱、在天文尺度卻能主宰運動。

二、核心概念與原理

先描述重力場，再計算放入物體後的力

引力與兩物體的質量乘積成正比，與質心距離的平方成反比；重力場則描述單位質量在某一位置會受到的力。

沙盒以示意尺度呈現場與合力，各物體的位置由你拖曳設定，箭頭有縮放與長度上限。判斷精確比例時請使用公式，不直接拿箭頭長度當作力的數值。

重力場先描述空間，再用 \(\vec F=m\vec g\) 算出放入測試質量後受到的引力。

萬有引力定律

$$ F=G\frac{Mm}{r^2} $$

距離變成兩倍，引力會縮小為四分之一。

重力場強度

$$ \vec g=-G\frac{M}{r^2}\hat r $$

負號表示重力場方向朝向場源質量。

公式中的物理量

萬有引力常數

$$ G\approx6.674\times10^{-11}\ \mathrm{N\cdot m^2/kg^2} $$
  • 萬有引力常數，決定萬有引力的比例尺度。
  • 兩個物體的質量，單位為 kg。
  • 兩物體質心之間的徑向距離，單位為 m。
  • 重力場強度，單位可寫成 N/kg 或 m/s²。

卡文迪西扭秤的平衡

引力矩與扭力矩平衡

$$ \left(G\frac{Mm}{r^2}\right)L=\kappa\theta $$

大鉛球吸引小球產生引力矩，懸絲扭轉後提供反向扭力矩；達到平衡時便能由 \(\theta\) 反推 \(G\)。

  • 小球到懸絲軸的力臂。
  • 懸絲的扭轉常數。
  • 系統達到平衡時的扭轉角。

三、操作與實驗

用向量看見引力，再用扭秤放大微小作用

第一套模擬器用向量呈現重力場；第二套模擬器重現卡文迪西扭秤。兩者共同回答「引力如何被看見與測量」。

實驗一：萬有引力與重力場沙盒

放置並移動場源質量與測試質量，觀察距離、質量、場向量及合力向量的關係。

操作提示：先放置一個場源質量，再拖曳測試質量改變距離；之後加入第二個場源，尋找合力接近零的位置。

實驗二：卡文迪西扭秤

改變大球與小球的距離，觀察微小引力如何使懸絲扭轉，以及雷射光點如何放大角度變化。頁面開啟後會持續演示，調整距離即可比較。

操作提示：調整「大鉛球距離」滑桿，比較穩定後的扭轉角與光點偏移；距離改變時，留意反平方關係。

操作任務與實驗步驟

  1. 建立單一場源

    先預測：測試質量放在場源的不同方向，場向量應朝哪裡？ 在重力場沙盒放置一個主要質量，沿不同方向移動測試質量，確認場向量是否始終指向場源。

  2. 檢查反平方關係

    先預測：距離變成兩倍，引力會剩一半還是四分之一？ 把測試質量與場源的距離放大為兩倍，觀察受力與場強變弱。再用公式算出四分之一的比例；沙盒箭頭經過縮放，不直接用圖上長度驗算。

  3. 觀察向量疊加

    先預測：兩個等大的場源放在測試質量兩側，合力會增強還是抵銷？ 加入第二個場源，移動測試質量並尋找兩個場向量互相抵消或共同增強的位置。

  4. 觀察卡文迪西扭秤

    先預測：微小引力如何讓懸絲與光點出現可觀察的變化？ 扭秤開啟後會持續演示；調整「大鉛球距離」滑桿，觀察扭轉角與光點偏移如何逐漸接近穩定值。

  5. 改變球距重做測量

    先預測：球距變大，穩定後的扭轉角會怎樣改變？ 縮短或增加大球與小球的距離，比較平衡角度如何改變，並用 \(1/r^2\) 解釋。

四、觀察與解釋

場向量朝向質量

單一場源周圍，重力場方向都朝向場源；離得更遠，場強就變弱。放入測試質量後，受力方向與當地重力場相同，大小則依 \(\vec F=m\vec g\) 決定。保持質量不變、把距離加倍，依反平方關係引力與場強都變成原來的四分之一。沙盒的箭頭採示意縮放，比例推理仍要回到公式。

多個場會向量相加

加入第二個場源後，先分開看兩個引力的方向，再把向量相加。兩個相同場源與測試質量距離相等時，中間位置的兩個力等大反向，合力抵銷；離開這個位置，兩個分力便不一定等大。場的箭頭只是空間中的取樣，不表示箭頭之間沒有引力。

藍色主要質量位於粉紅色測試質量左方，白色場箭頭指向場源；測試質量的黃色合力箭頭朝左。
圖 1｜單一場源，測試質量受力朝左。藍色球是主要質量 M，粉紅色球是測試質量 m；白色箭頭表示重力場方向。此時測試質量的合力朝向左側場源。箭頭使用示意尺度，不以圖上長度判斷精確力值。
左右各有一個相同的藍色主要質量，粉紅色測試質量位於中間；兩側引力分量朝相反方向，測試質量沒有可見的合力箭頭。
圖 2｜加入右側場源，兩側作用互相抵消。保持左側場源與測試質量的位置，再於右側放入相同主要質量。測試質量位於兩者中間；理想等距配置下，兩側引力大小相同、方向相反，中點的合力為零，其他位置仍可能有重力場。

球距影響扭轉角

卡文迪西扭秤把微小引力轉成懸絲的扭轉：大球靠近小球，引力矩變大，穩定後的扭轉角也增加；拉遠則反過來。雷射光點把角度變化放大，讓微弱作用容易觀察。比較球距時要等擺動趨於穩定，才能對照 \(1/r^2\) 的平衡關係。回到開頭，普通物體間的引力難以察覺，是因為 \(G\) 很小；天體質量巨大時，這個作用便能主導運動。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 萬有引力與 \(Mm\) 成正比，與 \(r^2\) 成反比。
  • 重力場是空間的性質，測試質量受到的力滿足 \(\vec F=m\vec g\)。
  • 單一質量產生的重力場朝向該質量，多個場源的重力場以向量相加。
  • 卡文迪西扭秤利用引力矩與懸絲扭力矩平衡，量出極微弱的引力作用。
  • 萬有引力常數 \(G\) 很小，因此普通物體間的引力不易察覺；天體質量巨大時，引力就會成為主導作用。

延伸思考與挑戰題

  1. 兩個相同的場源質量放在測試質量兩側，且距離相等時，測試質量受到的合力是多少？請畫出兩個力向量。
  2. 若兩個場源質量不相等，合重力場為零的位置會偏向質量較大的一側還是較小的一側？為什麼？
  3. 卡文迪西扭秤中，若球距變成原來的兩倍，而其他條件不變，平衡扭轉角理想上會變成多少？
  4. 普通物體之間的引力幾乎感覺不到，為什麼行星、恆星與星系的運動卻主要由引力控制？

相關影片

兩支影片都用誇張的生活情境提醒我們：任何有質量的物體都會互相吸引，但力的大小仍由質量與距離共同決定。

看完想一想：飛機和人確實互相吸引，為什麼日常不會出現「被飛機吸住」的結果？請從 \(G\)、質量與距離判斷。

看完想一想：月球也會吸引地球上的人，為什麼人在地表仍主要受到地球引力控制？請比較場源質量與距離。