質量愈大，對系統平均位置的影響就愈大
質心運動
先拖曳不同質量的質點，建立「加權平均位置」的直覺；再觀察人在船上走與半圓碗中的小球，理解無外力時質心為何保持不動。
一、問題與學習目標
人在船上往前走，為什麼船會往後退？
站在船上的人向前走，船卻向後漂。人與船都在移動，整個系統的質心為什麼還能保持原來的水平位置？要回答這個問題，先要找出質心，再分清楚人相對船、以及人與船相對地面的位移。
第一套實驗讓你拖曳質點、改變質量，從猜測與核對認識質量加權平均。第二套實驗把這個想法放進人在船上走與碗中小球的情境，觀察內部運動如何分配，以及不同視角為何會呈現不同位移。
學習目標
- 說明質心是各位置依質量加權後的平均。
- 估計多質點系統的質心位置，並判斷質量改變後的移動方向。
- 使用質心位置公式計算離散質點系統。
- 說明合外力為零時，系統質心的運動狀態不因內力而改變。
- 區分人在船上走問題中的相對位移與對地位移。
二、核心概念與原理
先找質量加權的位置，再看外力如何改變質心運動
質心是質量加權的平均位置；外力決定整個系統質心如何運動。
系統內部物體可以彼此移動，但內力無法改變整個系統質心的運動。
質心位置
較大的質量具有較高權重，因此質心更靠近它。
質心運動
若合外力為零，質心速度維持不變；初始靜止時，質心位置保持固定。
為什麼是加權平均？
每個位置對質心的影響不相同。相同距離下，質量加倍，對分子的貢獻也加倍；因此質心會落在質量分布較集中的一側。
離散質點系統的變數
- 系統質心的位置向量。
- 第 \(i\) 個質點的質量。
- 第 \(i\) 個質點的位置向量。
- 系統總質量。
人在船上走的位移關係
以下人與船的位移都相對地面；若已知的是人對船位移，還須與船對地位移合併。這些實驗先檢查水平方向：水平合外力可忽略、初始水平質心靜止，才可把水平質心位置視為固定。
水平外力可忽略時，人向前走會使船向後漂。兩者都是系統內部運動，必須讓質量加權後的總位移保持為零。
初始靜止時的質心守恆
三、操作與實驗
從猜質心到人在船上走，分清楚位置與位移
先探索質心位置，再用經典題型觀察無外力時的質心守恆。
先使用旁觀者視角核對對地位移，再切換跟隨視角。碗中小球的水平質心位置保持固定，但垂直位置可隨小球高度改變；畫布中的質心標記會呈現這個差別。
實驗一：質點與質心探索
拖曳彩色質點、改變質量並移動猜測標靶；也可以開啟隨機挑戰，在顯示答案前先估計質心位置。
操作提示：先移動虛線標靶做出猜測，再按「檢查猜測」；調整質點位置或質量後重新比較。
實驗二：質心守恆經典題型
選擇人在船上走或半圓碗與小球，調整質量與位置，再切換觀察視角比較相對位移和對地位移。
操作提示：拖曳人的位置或啟動小球，觀察另一物體的反向位移；再切換旁觀者與跟隨視角。
操作任務與實驗步驟
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先猜測三質點的質心
先預測：三個質點質量相同時，質心會落在哪裡？ 不要顯示答案，先把虛線標靶拖到預測位置，再檢查誤差。
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增加其中一個質點的質量
先預測：只增加一個質點的質量，質心會朝哪個方向移動？ 保持位置不變，只增加一個質點的質量，預測並觀察質心移動方向。
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完成隨機挑戰
先預測：質量與位置同時改變時，只看幾何中心還夠嗎？ 讓系統改變質量與位置，先憑直覺判斷，再使用加權平均公式核對。
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讓人在船上移動
先預測：人相對船向右移動時，船對地會向哪裡移動？ 設定人與船的質量，拖曳人的位置，記錄船的反向位移與系統質心。
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切換參考視角
先預測：跟隨船看人，和站在岸邊看人，位移會相同嗎？ 比較旁觀者、跟隨人與跟隨船的視角，區分相對船的位移和對地位移。
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改用半圓碗與小球
先預測：小球向右滑動，碗的水平位移會怎樣改變？ 讓小球從一側移到另一側，觀察碗的反向漂移是否同樣維持質心位置。
四、觀察與解釋
質心靠近較重的質點
位置不變時，增加某個質點的質量，就增加它在加權平均中的份量，質心會朝該質點移動。三個等質量質點的質心可用位置的普通平均求得；質量不相同時，就必須逐一乘上質量再平均。先猜再核對，是為了把公式中的權重連回畫面。
人前進，船後退
人在船上向前走時，船會反向移動。若人與船原先靜止，且水平合外力可忽略，系統質心的水平位置便保持不變。公式中的 \(\Delta x_{\text{人}}\) 與 \(\Delta X_{\text{船}}\) 都是對地位移；人對船走了多遠，不能直接當作人對地走了多遠。兩者的質量加權位移抵銷，才回答了開頭的問題。
視角改變，物理關係不變
切換跟隨人或跟隨船的視角，畫面中的物體移動方式會改變，但同一事件的對地位移及質心關係並未改變。半圓碗與小球也會出現反向水平移動；這裡守恆的是質心的水平位置。小球上下移動時，質心的垂直位置仍可改變，不能因水平外力可忽略就宣稱整個二維質心都不動。
常見錯誤與迷思
五、整理與應用
重點整理
- 離散質點系統的質心是位置的質量加權平均。
- 質量愈大，對質心位置的影響愈大。
- 系統合外力決定質心加速度：\(\vec F_{\mathrm{ext}}=M\vec a_{\mathrm{cm}}\)。
- 沒有合外力時，質心速度保持不變；若原先靜止，質心位置固定。
- 人在船上走時，人與船的對地位移方向相反，並依質量比例分配。
延伸思考與挑戰題
- 一個質量 \(60\ \mathrm{kg}\) 的人站在質量 \(180\ \mathrm{kg}\) 的船的一端，在光滑水面上相對船向另一端走 \(4\ \mathrm{m}\)。船對地位移多少？方向為何？
- 三個質點 \(A=10\ \mathrm{kg}\)、\(B=20\ \mathrm{kg}\)、\(C=30\ \mathrm{kg}\)。若把 \(C\) 增加為 \(60\ \mathrm{kg}\)，質心往哪個方向移動？請用挑戰模式驗證。
- 在半圓碗與小球模式中，小球從左端滑到右端，碗往哪個方向漂移？請用 \(m\Delta x_{\text{球}}+M\Delta X_{\text{碗}}=0\) 推導。
