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轉動慣量變小，角速度就必須增加

角動量守恆

用桌上繩拉小球與雙臂砝碼兩種 3D 實驗，重現滑冰選手收手後加速旋轉的物理。

力學 高中物理 閱讀 9 分鐘

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滑冰選手收手加速旋轉，旁邊顯示繩拉小球與雙臂砝碼的三維角動量實驗
旋轉半徑縮小時，轉動慣量下降；若外力矩為零，角速度會增加以維持角動量。

一、問題與學習目標

滑冰選手收起雙臂，為什麼會轉得更快？

滑冰選手收起雙臂後，旋轉速度明顯增加。這不表示角動量變大：若合外力矩可忽略，角動量保持不變，身體的質量分布改變了，轉動慣量與角速度就必須一起調整。

這篇用桌上繩拉小球與對稱雙臂砝碼兩種 3D 情境，把半徑 \(r\)、切線速度 \(v\)、角速度 \(\omega\) 與角動量 \(L\) 連起來。先預測半徑縮小後各物理量如何變化，再由模型讀值核對，最後區分角動量守恆與動能守恆。

學習目標

  • 使用 \(L=I\omega\) 連結角動量、轉動慣量與角速度。
  • 判斷合外力矩為零時角動量是否守恆。
  • 預測旋轉半徑改變後角速度與切線速度的變化。
  • 比較單一質點與對稱雙臂系統的轉動慣量。
  • 解釋滑冰、跳水與彗星軌道中的角動量守恆。

二、核心概念與原理

先確認外力矩，再連結轉動慣量與角速度

沒有合外力矩時，系統角動量保持不變；轉動慣量下降，就由角速度上升補償。

半徑縮小會讓 \(I\propto r^2\) 快速下降，因此 \(\omega\) 必須快速增加，才能讓 \(L\) 不變。

角動量

$$ L=I\omega $$

角動量描述系統旋轉狀態，方向沿旋轉軸。

角動量守恆

$$ L_i=L_f $$

成立條件是系統所受合外力矩為零。

圓周運動質點

角動量的等價寫法

$$ L=mvr=m\omega r^2=I\omega $$
  • 角動量，單位 \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\)。
  • 角速度；\(v\) 是切線速度。
  • 旋轉半徑；質點轉動慣量 \(=mr^2\)。

半徑改變時

單一質點守恆關係

$$ m\omega_1r_1^2=m\omega_2r_2^2 $$

對稱雙臂系統

$$ L=2m\omega r^2 $$

若 \(r\) 縮小為一半，\(I=2mr^2\) 變為四分之一，\(\omega\) 增加為四倍。

三、操作與實驗

保持質量與角動量，比較半徑收縮前後

在同一個 3D 模擬器中切換「繩拉向心力」與「雙臂角動量」，比較兩種半徑收縮情境。

兩種模式各自採用固定角動量的模型，切換模式不是把同一系統的角動量接續下去。比較半徑時保持質量不變；質量滑桿是比較不同模型設定，不代表實際把質量加入旋轉中的物體。向量採示意縮放，精確比例請看面板讀值。

操作提示：先改變旋轉半徑，再切換雙臂模式；開啟向量顯示，比較 \(r\)、\(v\)、\(\omega\) 與 \(L\)。

操作任務與實驗步驟

  1. 拉短桌上小球的半徑

    先預測：保持質量不變、拉短半徑，切線速度與角速度會怎樣改變？ 在繩拉模式逐步減小 \(r\)，記錄切線速度與角速度。

  2. 核對角動量數值

    先預測：轉速變快時，角動量也會變大嗎？ 比較操作前後的 \(L\)，確認在模擬條件下保持不變。

  3. 切換雙臂角動量

    先預測：兩個相同砝碼同時收縮，總轉動慣量怎樣改變？ 讓兩個對稱砝碼同時向內移，觀察旋轉速度。

  4. 把半徑縮小為一半

    先預測：半徑減半，角速度會變成兩倍還是四倍？ 在雙臂模式保持每個砝碼質量不變，把半徑由 2.0 m 調為 1.0 m，核對角速度與切線速度的倍數。可以先暫停旋轉讀值，再繼續觀察轉速。

  5. 切換觀察視角與向量

    先預測：位置、速度與角動量向量各指向哪裡？ 從固定視角與跟隨砝碼視角比較運動描述，並辨認角動量方向。

四、觀察與解釋

半徑縮小，角速度增加

保持質量不變，把質點或對稱砝碼向旋轉軸移近，轉動慣量會下降。在合外力矩為零、角動量守恆的條件下，\(L=I\omega\) 中的 \(L\) 不變，\(\omega\) 就必須增加。這也是滑冰選手收手轉快的原因；轉得更快，不能單獨拿來判斷角動量增加。

平方關係讓變化很明顯

本篇兩種模型的轉動慣量都與 \(r^2\) 成正比。質量保持不變、半徑減半時，轉動慣量變成四分之一，角速度變成四倍；切線速度則由 \(v=r\omega\) 得到兩倍。比較時只改半徑，並以數據面板核對比例，避免把示意向量的縮放或長度上限當成實際數值。

藍色與紅色砝碼分居旋轉軸兩側，黃色半徑箭頭指向砝碼，綠色速度箭頭沿切線，青色角動量箭頭沿旋轉軸。
圖 1｜半徑 2.0 m：建立比較起點。每個砝碼 5 kg，總角動量固定為 150 kg·m²/s。面板角速度為 3.75 rad/s、切線速度為 7.50 m/s。黃色箭頭表示半徑，綠色表示切線速度，青色表示角動量。
兩個砝碼向中央移近，黃色半徑箭頭縮短、綠色切線速度箭頭變長；青色角動量箭頭與前圖相同。
圖 2｜半徑 1.0 m：角速度成為四倍。保持質量、總角動量、視角與暫停姿態，只把半徑減半。角速度為 15.00 rad/s，切線速度為 15.00 m/s；青色角動量箭頭不變。兩圖暫停供比較，轉速倍數由讀值判斷。

角動量方向沿旋轉軸

位置向量由旋轉軸指向質點，切線速度沿圓周切線，兩者位於旋轉平面內；角動量方向依右手定則，垂直於該平面。固定視角與跟隨砝碼視角只是觀察方式不同。收縮時拉繩者或身體肌肉需要做功，因此角動量保持不變，轉動動能仍可以增加。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 角動量可寫成 \(L=I\omega\)。
  • 合外力矩為零時，系統角動量守恆。
  • 質點轉動慣量為 \(I=mr^2\)。
  • 半徑縮小會降低轉動慣量並提高角速度。
  • 對稱雙臂系統的轉動慣量為 \(2mr^2\)。

延伸思考與挑戰題

  1. 繩拉模式中，質量從 \(3\) 增加到 \(6\ \mathrm{kg}\)，半徑從 \(30\) 縮到 \(15\ \mathrm{m}\)，且 \(L_0=2700\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\)。求 \(v\) 與 \(\omega\)。
  2. 雙臂模式把半徑從 \(2.5\) 縮到 \(1.0\ \mathrm{m}\)，角速度增加幾倍？
  3. 說明跳水選手伸直、縮成團、落水前再伸直三階段的角速度趨勢。
  4. 彗星靠近太陽時為什麼變快、遠離時變慢？請從太陽重力對太陽的力矩為零說明。