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把一條拋物線拆成兩個互不干擾的運動

拋體運動

從速度分解開始，觀察重力如何持續改變鉛直速度，再走進三維空間，看懂垂直發射角與方位角各自扮演的角色。

運動學 高中物理 閱讀 12 分鐘

最後更新

老師指向同時呈現二維拋物線、三維軌跡、初速度與發射角控制的教學畫面
同一組初速度可以分解到不同座標軸；重力只改變鉛直方向的運動。

一、問題與學習目標

同樣的初速度，為什麼有些球飛得高，有些飛得遠？

把球斜向上拋出去，它先升高，再落回地面。如果改用更大的發射角，球一定會飛得更遠嗎？先別只看軌跡彎得多高，試著想想：同樣的初速度，分給水平與鉛直方向的部分各有多少？

理解拋體運動的起點，是把同一個運動拆開觀察。以下先用二維模擬追蹤水平與鉛直分量，再到三維模擬旋轉發射方向，分別比較初速度、角度、初始高度與重力，最後分清質量對軌跡和能量的影響。

學習目標

  • 把初速度分解成水平與鉛直分量，並說明各分量如何隨時間變化。
  • 利用位置與速度解析式，判讀飛行時間、最高點與水平射程。
  • 比較初速度、垂直發射角、初始高度與重力加速度對軌跡的影響。
  • 說明三維垂直發射角與方位角的幾何意義。

二、核心概念與原理

把一條彎曲軌跡，拆成各方向的運動

在忽略空氣阻力、重力加速度為定值的模型中，水平方向做等速度運動，鉛直方向做等加速度運動。

先分解，再分別處理各座標方向；時間 \(t\) 是把這些運動重新組合成同一條軌跡的共同變數。

二維位置

$$ x(t)=v_0\cos\theta\,t $$ $$ y(t)=y_0+v_0\sin\theta\,t-\frac{1}{2}gt^2 $$

彎曲軌跡來自兩個簡單運動同時發生。

二維速度

$$ v_x=v_0\cos\theta $$ $$ v_y=v_0\sin\theta-gt $$

水平速度保持不變，鉛直速度每秒減少 \(g\)。

飛行時間、最高點與水平射程

二維模擬器以地面 \(y=0\) 為落地條件。由鉛直位置式解出飛行時間 \(T\)，再把 \(T\) 代入水平位置式，就能得到水平射程 \(R\)。

解析結果

$$ T=\frac{v_0\sin\theta+\sqrt{(v_0\sin\theta)^2+2gy_0}}{g} $$ $$ R=v_0\cos\theta\,T $$

當初始鉛直速度向上時，最高點為 \(y_{\max}=y_0+(v_0\sin\theta)^2/(2g)\)；若一開始就向下拋，飛行期間的最高位置就是初始高度 \(y_0\)。

三維多出來的方位角

三維模擬器以 \(y\) 軸為鉛直方向。垂直發射角 \(\alpha\) 由水平面量起，正值是仰角、負值是俯角；方位角 \(\beta\) 則由 \(+X\) 軸朝 \(+Z\) 軸方向量起。

三維初速度分量

$$ v_{x0}=v_0\cos\alpha\cos\beta $$ $$ v_{y0}=v_0\sin\alpha $$ $$ v_{z0}=v_0\cos\alpha\sin\beta $$

三、操作與實驗

先比較速度分量，再一次只改一個條件

先用二維畫面看清楚速度分量與軌跡，再進入三維空間分辨垂直發射角和方位角。

二維與三維各有一個模擬器，可以在新視窗開啟。調整運動參數會回到起始狀態，但保留視角；已完成的軌跡可能留下比較線，要單獨觀察一次實驗時先清除比較軌跡。用「前進一秒」可在暫停下逐段檢查，最後一步會停在落地時刻。

二維：觀察速度與軸向投影

調整初速度、垂直發射角、初始高度與重力加速度，觀察速度向量、X 軸與 Y 軸投影、軌跡、高度—時間圖與解析讀值。

操作提示：先開啟速度分量、X 軸投影、Y 軸投影與發射角，再按「開始」或「前進一秒」。畫布縮放由你自行控制，改變參數不會自動改變倍率。

三維：觀察方位角與能量

加入方位角、質量與可旋轉視角，觀察三維速度分量、落點與地面投影。

操作提示：拖曳畫布旋轉視角，用滾輪或雙指縮放；開啟「發射角 α、β」，再固定 \(\alpha\) 並只改變 \(\beta\)，比較軌跡方向。

操作任務與實驗步驟

  1. 先看速度分量如何變化

    先預測哪個速度分量保持不變。在二維開啟速度向量、速度分量、X 軸投影與 Y 軸投影，保持預設初速度 20 m/s、45°、初始高度 1.5 m、重力 9.81 m/s²。用「前進一秒」比較第一秒與第二秒的水平速度、鉛直速度及投影影子，再開始播放觀察最高點附近的變化。

  2. 比較仰角、水平與俯角

    先固定初速度 20 m/s、初始高度 1.5 m、重力 9.81 m/s²，比較 30°、0°、−30° 的飛行時間、最高點與射程。接著把初始高度設為 0 m，單獨完成 30° 與 60° 兩次發射，比較下圖的互補角軌跡；每次可清除舊比較線。地面發射時，0° 或負角度會立即接觸地面，不能期待與從高處發射相同的飛行時間。

  3. 只改變重力加速度

    先預測重力變小會影響哪個方向。在二維保持 20 m/s、45° 與 1.5 m，只把重力由 9.81 改為 4.90 m/s²，再用相同前進時刻比較鉛直速度的變化。完成兩次發射，核對飛行時間、最高點、射程增大，水平速度仍相同。

  4. 旋轉三維水平方向

    在三維固定初速度 20 m/s、垂直發射角 45°、初始高度 1.5 m、重力 9.81 m/s²，只把方位角從 0° 改為 90°。先預測落點朝向，再用俯視查看 XZ 地面投影：水平初速度由 +X 轉向 +Z；比較飛行時間、最高點及射程大小是否保持不變。

  5. 檢查質量與能量讀值

    保持三維的發射與重力參數，只把質量由 1.0 kg 改成 2.0 kg。先預測再在相同時刻比較軌跡、速度與能量：運動相同，動能與位能加倍。二維面板沒有質量參數，顯示的是每公斤的比能量，別拿它直接與三維的焦耳數值比較。

四、觀察與解釋

水平速度維持不變

無空氣阻力的模型中，重力只作用在鉛直方向，所以水平速度保持不變；鉛直速度則隨時間減少。上升時球仍向前移動，到最高點只是鉛直速度暫時為零，並非整個速度都消失。用水平投影的等速移動與鉛直投影的先上後下，能把彎曲軌跡背後的兩種運動看清楚。

發射角改變鉛直分量

固定初速度與重力，增大仰角會增加初始鉛直分量，同時減少水平分量。飛得更高、在空中更久，並不保證射程更遠。下圖從地面發射，30° 與 60° 的射程相同，卻有不同最高點與飛行時間；若提高初始高度，就不能直接沿用這個互補角結論。水平或向下發射時，初始高度也決定球是否還有時間前進。

三十度地面發射的綠色拋物軌跡，最高點約五公尺，落點約三十五點三公尺，下方保留同一公尺刻度與落地前的速度、重力向量。
圖 1｜30°：飛得較低、落地較早。二維模擬，初速度 20 m/s、初始高度 0 m、重力 9.81 m/s²，完成發射後暫停。最高點約 5.10 m，飛行時間約 2.04 s，射程約 35.31 m。
六十度地面發射的綠色拋物軌跡，最高點約十五公尺，落點與三十度相同；使用相同刻度，落地前速度向量的向下分量較大。
圖 2｜60°：飛得較高，射程相同。其餘條件與圖 1 相同，最高點約 15.29 m，飛行時間約 3.53 s，射程仍約 35.31 m。兩圖保持相同倍率與裁切，不留下其他比較軌跡；這個互補角結論只適用於發射與落地等高且無阻力的情境。落地位置的向量是接觸地面前的速度與重力，不表示球會穿過地面繼續飛。

方位角旋轉水平軌跡

三維方位角只把水平初速度在 X、Z 方向重新分配，固定垂直發射角、初速度、初始高度與重力時，飛行時間、最高點和水平射程的大小不變，改變的是落點朝向。質量也不影響這些理想軌跡，但三維的動能、位能會隨質量成比例改變；二維呈現的是每公斤的比能量，不能直接把兩種面板數值當成同一個量。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 拋體運動可以分解成各座標方向的獨立運動，再用共同時間重新組合。
  • 在理想模型中，水平速度分量保持不變，鉛直速度分量依 \(v_y=v_{y0}-gt\) 改變。
  • 垂直發射角決定水平與鉛直初速度的比例；正值為仰角，負值為俯角。
  • 三維方位角決定水平面內的發射方向，不改變由鉛直運動決定的飛行時間與最高點。
  • 沒有空氣阻力時，質量不改變軌跡；改變質量會等比例改變動能、位能與總力學能。

延伸思考與挑戰題

  1. 固定 \(v_0\)、\(y_0\) 與 \(g\)，比較 \(\theta=30^\circ\) 和 \(\theta=60^\circ\)。兩者的水平與鉛直初速度分量各有什麼差異？
  2. 先設定正的垂直發射角，再把重力加速度調小。為什麼飛行時間、最高點與水平射程會增加？請分別從 \(v_y\) 與位置式說明。
  3. 在三維模擬器只把方位角從 0° 改成 90°，哪一個初速度分量會從最大變成接近 0？哪一個會從接近 0 變成最大？
  4. 固定所有運動參數，只把質量加倍。你預測軌跡與飛行時間是否改變？動能、位能與總力學能又如何改變？