跳至文章內容

把一條拋物線拆成兩個互不干擾的運動

拋體運動

從速度分解開始，觀察重力如何持續改變鉛直速度，再走進三維空間，看懂垂直發射角與方位角各自扮演的角色。

運動學 高中物理 閱讀 12 分鐘

最後更新

老師指向同時呈現二維拋物線、三維軌跡、初速度與發射角控制的教學畫面
同一組初速度可以分解到不同座標軸；重力只改變鉛直方向的運動。

這篇在解決什麼問題

拋體同時向前、向上或向下運動，速度的大小和方向也一直改變。若只盯著彎曲軌跡，很容易把水平運動、鉛直運動和重力的作用混在一起。

這篇文章使用指定的二維與三維模擬器，把運動拆回各座標方向。你會比較發射角、初速度、初始高度與重力造成的差異，並確認三維方位角主要改變的是水平方向，而不是鉛直運動規律。

學完這篇文章後，你將能夠

學習目標

  • 把初速度分解成水平與鉛直分量，並說明各分量如何隨時間變化。
  • 利用位置與速度解析式，判讀飛行時間、最高點與水平射程。
  • 比較初速度、垂直發射角、初始高度與重力加速度對軌跡的影響。
  • 說明三維垂直發射角與方位角的幾何意義。

30 秒核心公式與概念速覽

在忽略空氣阻力、重力加速度為定值的模型中，水平方向做等速度運動，鉛直方向做等加速度運動。

二維位置

$$ x(t)=v_0\cos\theta\,t $$ $$ y(t)=y_0+v_0\sin\theta\,t-\frac{1}{2}gt^2 $$

彎曲軌跡來自兩個簡單運動同時發生。

二維速度

$$ v_x=v_0\cos\theta $$ $$ v_y=v_0\sin\theta-gt $$

水平速度保持不變，鉛直速度每秒減少 \(g\)。

一句話掌握

先分解，再分別處理各座標方向；時間 \(t\) 是把這些運動重新組合成同一條軌跡的共同變數。

飛行時間、最高點與水平射程

二維模擬器以地面 \(y=0\) 為落地條件。由鉛直位置式解出飛行時間 \(T\)，再把 \(T\) 代入水平位置式，就能得到水平射程 \(R\)。

解析結果

$$ T=\frac{v_0\sin\theta+\sqrt{(v_0\sin\theta)^2+2gy_0}}{g} $$ $$ R=v_0\cos\theta\,T $$

當初始鉛直速度向上時，最高點為 \(y_{\max}=y_0+(v_0\sin\theta)^2/(2g)\)；若一開始就向下拋，飛行期間的最高位置就是初始高度 \(y_0\)。

三維多出來的方位角

三維模擬器以 \(y\) 軸為鉛直方向。垂直發射角 \(\alpha\) 由水平面量起，正值是仰角、負值是俯角；方位角 \(\beta\) 則由 \(+X\) 軸朝 \(+Z\) 軸方向量起。

三維初速度分量

$$ v_{x0}=v_0\cos\alpha\cos\beta $$ $$ v_{y0}=v_0\sin\alpha $$ $$ v_{z0}=v_0\cos\alpha\sin\beta $$

互動模擬實驗室

先用二維畫面看清楚速度分量與軌跡，再進入三維空間分辨垂直發射角和方位角。

實驗一：二維拋體運動

調整初速度、垂直發射角、初始高度與重力加速度，觀察速度向量、X 軸與 Y 軸投影、軌跡、高度—時間圖與解析讀值。

操作提示：先開啟速度分量、X 軸投影、Y 軸投影與發射角，再按「開始」或「前進一秒」。畫布縮放由你自行控制，改變參數不會自動改變倍率。

實驗二：三維拋體運動

加入方位角、質量與可旋轉視角，觀察三維速度分量、落點與地面投影。

操作提示：拖曳畫布旋轉視角，用滾輪或雙指縮放；開啟「發射角 α、β」，再固定 \(\alpha\) 並只改變 \(\beta\)，比較軌跡方向。

操作任務與實驗步驟

  1. 先看速度分量如何變化

    在二維模擬器開啟速度向量、速度分量、X 軸投影與 Y 軸投影，保持預設參數發射。比較兩個投影影子的運動、\(v_x\) 與 \(v_y\) 的讀值，並找出軌跡最高點。

  2. 比較仰角、水平與俯角

    固定初速度、初始高度與重力，依序把垂直發射角設為正值、0° 與負值。比較飛行時間、最高點與水平射程；初始高度為 0 時，負角度會使拋體立即接觸地面。

  3. 只改變重力加速度

    保持其他參數相同，先用較小的 \(g\)，再改成較大的 \(g\)。比較飛行時間、最高點、射程與鉛直速度改變的快慢。

  4. 旋轉三維水平方向

    在三維模擬器固定初速度、垂直發射角、初始高度與重力，只改變方位角 \(\beta\)。從俯視角觀察落點方向與地面投影。

  5. 檢查質量與能量讀值

    固定運動參數，只改變三維模擬器的質量。比較軌跡、飛行時間與能量讀值，分辨「運動狀態」和「能量大小」的差異。

你應該觀察到什麼

01

水平速度維持不變

忽略空氣阻力時，水平方向加速度為 0；\(v_x\) 不變，而 \(v_y\) 以固定速率減少。

02

發射角改變鉛直分量

仰角增加初始向上的速度分量；俯角使物體一開始就向下，但重力仍持續向下改變速度。

03

方位角旋轉水平軌跡

固定其他參數只改變 \(\beta\) 時，水平射程的方向跟著旋轉，飛行時間、最高點與射程大小維持相同。

重點整理

  • 拋體運動可以分解成各座標方向的獨立運動，再用共同時間重新組合。
  • 在理想模型中，水平速度分量保持不變，鉛直速度分量依 \(v_y=v_{y0}-gt\) 改變。
  • 垂直發射角決定水平與鉛直初速度的比例；正值為仰角，負值為俯角。
  • 三維方位角決定水平面內的發射方向，不改變由鉛直運動決定的飛行時間與最高點。
  • 沒有空氣阻力時，質量不改變軌跡；改變質量會等比例改變動能、位能與總力學能。

常見錯誤與迷思

延伸思考與挑戰題

  1. 固定 \(v_0\)、\(y_0\) 與 \(g\)，比較 \(\theta=30^\circ\) 和 \(\theta=60^\circ\)。兩者的水平與鉛直初速度分量各有什麼差異？
  2. 先設定正的垂直發射角，再把重力加速度調小。為什麼飛行時間、最高點與水平射程會增加？請分別從 \(v_y\) 與位置式說明。
  3. 在三維模擬器只把方位角從 0° 改成 90°，哪一個初速度分量會從最大變成接近 0？哪一個會從接近 0 變成最大？
  4. 固定所有運動參數，只把質量加倍。你預測軌跡與飛行時間是否改變？動能、位能與總力學能又如何改變？