同時觀察多個物品，看懂上拋、下落與反彈
鉛直上拋運動
將不同物品拖到畫布上，設定各自的起始高度與速度；從每個物品的向量與圖表，理解鉛直運動的方向和變化。
一、問題與學習目標
球在最高點停住，加速度也等於零嗎？
把球直直地往上拋，它會愈飛愈慢，在最高點短暫停住，接著落下。我們很容易接受「最高點的速度是零」，但如果這時加速度也等於零，球的速度又為什麼會接著轉向下方？
先帶著這個疑問看一次完整的上拋。這篇會用畫布上的箭頭追蹤球的運動，再把觀察連回公式。當你能分清楚「現在往哪裡運動」和「速度正在怎麼改變」，就能進一步判斷向下拋出、改變重力或碰地反彈的情況。
學習目標
- 觀察每個物品的高度、速度與加速度向量，判讀上升、最高點與下落階段。
- 說明物體在最高點的速度為零，但加速度仍然向下。
- 比較不同重力加速度對最大高度與飛行時間的影響。
- 說明彈性係數 \(e\) 如何影響每次反彈的速度損耗。
- 比較不同初始高度、初速度與物品外觀的實驗結果，說明模型假設的影響。
二、核心概念與原理
先分清楚速度與加速度
球正在往上飛，表示它的速度向上；球愈飛愈慢，則表示速度正在改變。加速度描述的就是這個改變。在球離手後、尚未碰地的過程中，如果忽略空氣阻力，重力會持續讓速度往向下的方向改變。
速度告訴我們物體此刻如何運動；加速度告訴我們速度如何改變。
為了把方向寫進公式，我們取向上為正：上升時 \(v>0\)，下落時 \(v<0\)。自由飛行的加速度始終是 \(-g\)，因此可用下面三個等加速度關係式描述運動。碰地或被人拖曳時，要另外處理，不能直接當成同一段自由飛行。
速度與時間
從開始運動算起，經過時間 \(t\) 後，速度的數值比初速度減少 \(gt\)。原本向上的正速度會降到零，之後成為向下的負速度；下落時，速率反而愈來愈大。
位置與時間
這裡的 \(y_0\) 是起始高度。位置—時間圖呈開口向下的拋物線，曲線先上升再下降；它描述的是高度隨時間的變化，球在空間中仍沿鉛直線運動。
速度與位移
如果問題只問速度與高度差，不需要先求時間。注意 \(\Delta y\) 是相對起點的位移，而不是物體此刻離地的高度。
如何求最大上升高度與所需初速度？
最高點是上升與下落交接的瞬間，所以此時 \(v=0\)。把這個條件代入速度與位移關係式，就能求出從拋出位置再上升多少，也就是 \(\Delta y_{\max}\)。若起始高度是 \(y_0\)，離地的最高位置則是 \(y_{\max}=y_0+\Delta y_{\max}\)。
最高點條件
左式回答「給定初速度，能再上升多高」；右式把問題反過來，回答「要上升到指定高度，需要多大的初速度」。兩式都適用於初速度向上、到達最高點前的自由飛行；目標高度差是相對拋出位置的上升量。
- \(t\) 時刻的速度，向上取正。
- 物體開始運動時的初速度。
- 重力加速度；地球約為 \(9.8\ \mathrm{m/s^2}\)，月球約為 \(1.62\ \mathrm{m/s^2}\)。
三、操作與實驗
動手觀察鉛直運動
接著用模擬器檢查剛才的判斷。開始前先預測：球上升時，綠色與紅色箭頭會指向哪裡？到最高點和開始下落時，哪一個箭頭會改變？
從畫布右側選擇素色球、籃球、鐵錘、汽車或羽毛，可放入兩個以上物品一起模擬。各物品可設定不同初始高度與速度；重力加速度和地面彈性係數由所有物品共用。
操作提示：從右側拖入物品，點選後調整速度；選單放不下時可上下捲動。按「開始模擬」觀察，或開啟全螢幕操作。
操作任務與實驗步驟
前兩個任務先追蹤上升、最高點與下落，回答開頭的問題。之後逐一改變拋出方向、重力與地面彈性；每次都先預測結果，再用箭頭與圖表核對。
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放入兩個物品並設定位置
從右側選單將兩個物品拖到不同高度，先給它們相同的向上初速度，預測哪個物品會較早碰地。點選物品後，可用初速度滑桿或綠色箭頭旁的圓圈調整速度；拖動時，虛線會對照左側高度刻度。點空白處可隱藏工具，點叉叉可刪除物品。
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觀察每個物品的三種向量
開啟「位移向量」「速度向量」「加速度向量」，讓兩個物品以不同的向上初速度運動。先完整觀察一次，不拖動物品：上升時綠色箭頭是否縮短？最高點附近，紅色箭頭是否仍朝下？下落後，綠色箭頭又如何變化？藍色 \(y\) 箭頭可用來對照相對地面零點的高度。
熟悉自由飛行後，再試著於運動中拖動其中一個物品。放開後，它會沿用抓取時的速度，從新位置繼續運動；「重置」則回到起始設定。拖曳是人為改變位置，不屬於自由飛行，圖表可能出現跳變。
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改成向下拋出
將一個物品放在高處，選取它並把初速度設為負值。這次速度與加速度都朝下，你預期它會愈落愈快，還是愈落愈慢？從相同高度、以大小相同但方向相反的初速度各做一次實驗，比較速度箭頭、落地時間和圖表。
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比較地球與月球
保持物品的起始高度與向上初速度相同，先以 \(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\) 做一次實驗。按「重置」後，將重力改為約 \(1.6\ \mathrm{m/s^2}\) 再做一次，比較最大高度與到達最高點的時間。重力由所有物品共用，因此地球與月球的結果要分成兩次實驗比較。
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改變地面彈性
保持其他設定相同，只調整彈性係數 \(e\)，比較物品碰地後的反彈速度與後續高度。設定 \(e=0\) 時，物品第一次碰地後就會停止。注意把「空中飛行」與「接觸地面」分開觀察：反彈發生在碰地時，不是重力突然改了方向。
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比較物品外觀
把羽毛和鐵錘放在相同高度，設定相同初速度後一起模擬。兩者會一起到達最高點、一起落地嗎？這個模型不計空氣阻力，也不計物品間的碰撞；比較結果時，要把這些假設和生活中的經驗分開。
四、觀察與解釋
速度改變方向，加速度呢？
先對照下方的上升與下落畫面。圖 1 的綠色速度箭頭向上，圖 2 則向下；兩張圖的紅色加速度箭頭都朝下。這說明物體的運動方向改變時，加速度不一定跟著轉向。
兩張圖來自同一次實驗：一顆籃球從地面以初速度 20 m/s 向上拋出，重力加速度為 9.8 m/s²、彈性係數為 0，分別在約 1.04 s 與 3.03 s 暫停。藍色箭頭表示相對地面的高度；這兩張圖記錄的是最高點前後的狀態，最高點的瞬間要回到連續模擬中觀察。
最高點的零速度，只是一瞬間
沿著這次運動往前看，綠色箭頭在上升時逐漸縮短，到最高點瞬間消失，接著朝下並愈來愈長。這段過程中，重力並沒有消失：加速度始終是 \(-g\)，持續把速度從正值降到零，再降成負值。
因此，開頭的問題可以這樣回答：最高點的速度是零，加速度仍向下。球沒有一直停在那裡，正是因為速度還在改變。若它已經碰地，情況就不同了：模擬器將反彈處理為速度瞬間改變；物品停在地面時，合加速度為零。
換成羽毛與鐵錘，為什麼結果相同？
如果你完成了最後一個任務，會發現相同初始高度、速度與重力下，羽毛和鐵錘有相同的鉛直運動。物品圖片沒有改變模型中的運動規則；忽略空氣阻力時，兩者的自由飛行加速度都是 \(-g\)。因此，這個結果不能直接拿來預測羽毛在有空氣的環境中如何下落。
重力較小，球為什麼飛得更高、更久？
同樣的向上初速度，在較小的 \(g\) 下減少得比較慢，所以需要更久才降到零，也能繼續上升更高。這和 \(v=v_0-gt\) 及 \(\Delta y_{\max}=v_0^2/(2g)\) 的預測一致。
下面保持 \(v_0=20\ \mathrm{m/s}\)、從地面向上拋出，只改變模擬器滑桿可設定的近似重力值。表中的高度是第一次到達最高點時、相對地面的高度；讀表時可以同時核對「高度增加」和「上升時間延長」這兩個結果。
| 天體 | \(g\)（m/s²） | 最大高度（m） | 到達最高點時間（s） |
|---|---|---|---|
| 地球 | 9.8 | 20.4 | 2.04 |
| 月球（近似） | 1.6 | 125.0 | 12.50 |
| 火星（近似） | 3.7 | 54.1 | 5.41 |
常見錯誤與迷思
五、整理與應用
重點整理
- 取向上為正時，自由飛行階段的加速度固定為 \(-g\)。
- 上升時速度逐漸減少；最高點速度為零；下落後速度方向轉為向下。
- 最高點的加速度不為零，重力仍持續改變物體的速度。
- 最大上升高度為 \(\Delta y_{\max}=v_0^2/(2g)\)。
- 減小重力加速度會增加最大高度並延長飛行時間。
- 此模擬器可讓多個物品同時運動；相同初始條件下，圖片種類不影響結果，因為模型不計空氣阻力與物品之間的碰撞。
延伸思考與挑戰題
現在再回到向下拋出的任務：速度與加速度都向下，所以物品會愈落愈快。你已經可以用同一個方法判斷新情境——先看速度方向，再看加速度如何改變它。接下來試著把這個判斷用在計算與反彈問題中。
- 一顆球以初速度 \(30\ \mathrm{m/s}\) 向上拋出，取 \(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\)。請計算相對起點的最大上升高度，以及從拋出到落回原位的總時間，再用模擬器驗證。
- 彈性係數 \(e=1.0\) 代表完全彈性碰撞，每次反彈速度不衰減。在現實中，為什麼這種情況不可能永遠持續？這與能量守恆有什麼關係？
- 從地面上拋，若希望第一次最高點達到 \(50\ \mathrm{m}\)，取 \(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\)。請用 \(v_0=\sqrt{2g\Delta y_{\mathrm{target}}}\) 求所需初速度，設定後從圖表估計實際最高高度，並比較差距。
