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多一個空間方向，守恆定律仍然用同一套方法

三維碰撞

在可旋轉的立體空間中設定兩球的質量、位置與三方向速度，從一維對心、二維擦撞一路比較到真正的三維斜向交會。

力學 高中延伸／大學普通物理 閱讀 8 分鐘

最後更新

藍球與紅球在三維座標空間中斜向交會，畫面顯示速度向量與可旋轉觀察視角
改變觀察視角後，球的投影軌跡看起來不同，但空間中的速度向量與動量守恆關係不會改變。

一、問題與學習目標

畫面上兩球交會，就代表真的撞到了嗎？

從某個角度看，兩球的路徑像是交叉了；轉一下視角，卻可能發現它們位於不同深度。判斷碰撞不能只看螢幕投影，還要確認同一時刻兩個球心的空間距離。

這篇延續一維與二維碰撞，先用三組預設情境建立空間感，再暫停並旋轉、平移或縮放視角。確認實際接觸之後，把總動量拆成三個方向核對，最後用球心連線解釋速度向量如何改變。

學習目標

  • 將三維動量拆成 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三個分量。
  • 分別檢查三方向的動量守恆。
  • 比較一維對心、二維擦撞與三維斜向碰撞。
  • 說明改變觀察視角不會改變碰撞的物理結果。
  • 觀察質量比與恢復係數如何影響碰後速度。

二、核心概念與原理

先確認空間中的接觸，再拆開三個動量分量

三維碰撞的向量守恆式只有一條，但可以拆成三條分量方程。

立體碰撞不是新的守恆定律，而是把同一個動量向量分別投影到三個互相垂直的方向。

向量動量守恆

$$ \vec p_{\mathrm{before}}=\vec p_{\mathrm{after}} $$

只要碰撞期間合外力衝量可忽略，三維總動量向量保持不變。

碰撞法線

$$ \hat n=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|} $$

球面碰撞的衝量沿兩球心連線方向作用。

三方向分量守恆

空間動量方程

$$ \begin{aligned} \sum p_x&=\text{常數} \\ \sum p_y&=\text{常數} \\ \sum p_z&=\text{常數} \end{aligned} $$

三個分量獨立檢查，但它們共同組成同一個三維動量 。

速度如何沿碰撞法線改變？

以下採理想光滑球模型，不考慮碰撞摩擦或自轉；法線取接觸瞬間的球心連線。守恆式也以碰撞期間外力衝量可忽略為前提。

對理想光滑球而言，碰撞衝量只有法線方向。可先把兩球相對速度投影到 ， 依質量與恢復係數 求出衝量，再把速度向量更新。

恢復係數的法線關係

$$ (\vec v_2'-\vec v_1')\cdot\hat n =-e(\vec v_2-\vec v_1)\cdot\hat n $$

三、操作與實驗

先暫停，再轉動視角核對同一個碰撞狀態

使用預設情境或自行設定兩球的質量、位置、三方向速度與恢復係數，再自由旋轉視角觀察碰撞。

三個預設會同時更換多項初始條件，適合認識不同情境，不能直接當作只改維度的數值比較。要核對視角效果，先暫停再旋轉；要比較恢復係數，重置後保持質量、位置與初速度相同，只改 e。

操作提示：左鍵拖曳旋轉視角，右鍵拖曳平移，滾輪縮放；迷失方向時使用「視角歸位」。

操作任務與實驗步驟

  1. 從一維對心情境開始

    先預測：轉動攝影機後，同一直線上的運動會變成另一種碰撞嗎？ 選擇「1D 對心」，從不同視角確認兩球路徑仍在同一直線。

  2. 切換到二維擦撞

    先預測：從不同角度看擦撞，哪個分量最容易被投影隱藏？ 選擇「2D 擦撞」，旋轉攝影機比較俯視與側視投影。

  3. 觀察三維斜向交會

    先預測：兩球在畫面上靠近時，是否已經滿足空間接觸條件？ 選擇「3D 斜向交會」，確認兩球在 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三方向都有位置或速度差。

  4. 改變質量比與恢復係數

    先預測：只降低恢復係數，碰後法線相對速度會怎樣改變？ 比較等質量與懸殊質量，再把 \(e\) 從 \(1\) 降低，觀察碰後相對速度。

  5. 使用視角歸位

    先預測：視角歸位會改變球的位置或速度嗎？ 任意旋轉、平移和縮放後按下歸位，確認能重新建立方向感。

四、觀察與解釋

維度增加，方法不變

只要碰撞期間合外力衝量可忽略，總動量向量就保持不變。從一維到三維，增加的是要核對的分量；\(x\)、\(y\)、\(z\) 方向各有一條方程，三個分量共同描述同一個空間向量，不能把不同方向的數值混在一起抵銷。

視角可能隱藏深度

把模擬暫停，再轉動攝影機，兩球在螢幕上的位置與箭頭方向會改變，但它們的空間座標、速度與動量讀值沒有改變。投影重疊不足以證明接觸；要在同一時刻比較球心距離與半徑和，並確認兩球正在接近。下面兩圖使用同一個碰後狀態，只改觀察視角。

三維碰撞後暫停，紅球位於畫面上方、藍球位於下方；粉紅與淺藍速度箭頭沿不同方向伸出，背景是座標軸與參考網格。
圖 1｜碰後暫停，建立比較起點。選「3D 斜向交會」，藍球 8 kg、紅球 3 kg，e＝1；碰後暫停並保留歸位視角。淺藍、粉紅箭頭分別表示兩球速度，座標軸提供空間參考。
相同三維碰後狀態轉動攝影機，網格及座標軸投影轉向，兩球速度箭頭在螢幕上的方向改變；球的實際位置與速度保持不變。
圖 2｜只轉動攝影機。保持暫停，左鍵拖曳旋轉視角。兩球的空間位置與速度完全相同；三方向總動量仍為（20、0、7.5）kg·m/s，面板總動能仍顯示 100.4 J。箭頭投影改變，沒有改變碰撞結果。

碰撞改變沿法線的速度

理想光滑球的碰撞衝量沿接觸瞬間的球心連線，因此速度改變量沿法線；垂直於法線的速度分量不受這個衝量影響。降低恢復係數，改變的是碰後法線相對速度，不代表三個座標方向都各自做一次一維碰撞。即使 \(e=0\)，偏心碰撞的切向相對運動仍可存在，不能直接判斷兩球會黏合。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 三維碰撞滿足總動量向量守恆。
  • 向量守恆可拆成 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三個分量方程。
  • 理想球面碰撞的衝量沿兩球心連線。
  • 恢復係數控制碰後法線相對速度。
  • 旋轉觀察視角只改變投影，不改變物理狀態。

延伸思考與挑戰題

  1. 若三維碰撞為完全彈性碰撞，系統的總動量與總動能在碰撞前後分別如何變化？
  2. 將兩球質量設為極端懸殊，觀察碰後速度大小與方向。哪一球的運動狀態改變較明顯？
  3. 設計一組從俯視看似會相撞、但因 \(z\) 座標不同而擦身而過的初始條件，再旋轉視角驗證。

第三題先確認使用的投影方向。這個模擬器把 Y 當垂直方向，從上方俯視會保留 X、Z 平面；若要讓 Z 深度在投影中被隱藏，應改用沿 Z 方向觀察的視角，不能只因 Z 不同就說俯視一定重疊。