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把平面運動拆成兩個方向，碰撞就不再神祕

二維碰撞

拖曳兩球的位置與速度向量，改變撞擊角度並切換撞球模式，觀察水平與垂直動量如何同時各自守恆。

力學 高中物理延伸 閱讀 8 分鐘

最後更新

兩個圓球在平面畫布上斜向碰撞，畫面同步顯示速度與動量向量
改變撞擊角度後，兩球的飛行方向會改變，但總動量在 \(x\) 與 \(y\) 方向仍分別守恆。

一、問題與學習目標

球被撞偏了，動量還能守恆嗎？

撞球擦到另一顆球的側面，兩球會沿不同方向離開。路徑雖然轉彎，兩球的總動量仍可保持原來的方向與大小。要看清楚這件事，就必須把速度拆成水平與垂直分量，而不是只加速率。

先讓等質量兩球正面相撞，重現一維的速度交換；再只改其中一球的垂直位置，觀察偏心碰撞。用兩個方向的動量總和核對守恆，再用碰撞瞬間的球心連線，解釋為什麼速度會轉向。

學習目標

  • 將二維動量分解成 \(x\) 與 \(y\) 分量並分別套用守恆。
  • 辨認碰撞法線與切線方向。
  • 說明光滑球碰撞時，法線分量改變而切線分量保持不變。
  • 預測撞擊參數改變後兩球的飛行方向。
  • 連結撞球運動與近似完全彈性碰撞。

二、核心概念與原理

分開核對水平與垂直，再找碰撞瞬間的法線

同一個向量守恆式，可以拆成水平與垂直兩條互不混用的方程。

光滑球的碰撞衝量沿兩球心連線，因此只改變法線速度分量，切線速度分量保持不變。

\(x\) 方向動量

$$ p_{x,\mathrm{before}}=p_{x,\mathrm{after}} $$

只比較各物體速度的水平分量。

\(y\) 方向動量

$$ p_{y,\mathrm{before}}=p_{y,\mathrm{after}} $$

垂直分量獨立守恆，不會和水平分量互相抵銷。

分量各自守恆

以下把兩球合成一個系統，假設碰撞期間的外力衝量可忽略。若實際撞球碰到桌邊，桌邊會提供外部衝量，不能把兩球碰撞與撞桌邊一起當作同一段孤立系統的動量守恆。

水平與垂直動量方程

$$ \begin{aligned} m_1v_{1x}+m_2v_{2x} &=m_1v_{1x}'+m_2v_{2x}' \\ m_1v_{1y}+m_2v_{2y} &=m_1v_{1y}'+m_2v_{2y}' \end{aligned} $$
  • 兩顆球的質量。
  • 速度在水平與垂直方向的分量。

法線與切線方向

碰撞瞬間，以兩球心連線為法線方向，垂直於它的方向為切線方向。光滑球之間沒有切向衝量，因此切線速度不變；法線方向則套用一維碰撞關係。

完全彈性碰撞的法線分量

$$ \begin{aligned} v_{1n}'&=\frac{(m_1-m_2)v_{1n}+2m_2v_{2n}}{m_1+m_2} \\ v_{2n}'&=\frac{(m_2-m_1)v_{2n}+2m_1v_{1n}}{m_1+m_2} \end{aligned} $$
  • 法線分量依一維彈性碰撞公式重新分配。
  • 切線分量保持原值。
  • 最後再把法線與切線分量合成碰後速度向量。

三、操作與實驗

從對心碰撞開始，只改其中一球的垂直位置

先用正面碰撞核對速度交換，再只改其中一球的垂直位置，比較偏心碰撞的方向。最後切換撞球檯模式，探索母球與子球的路徑。

本模擬器一次處理兩顆球；撞球檯外觀不代表多球與邊界反射都已實作。預設「非對心（擦撞）」也會更換質量與初速度，因此要做單一變因比較，請固定這些設定，只改垂直位置。

操作提示：先讓兩球正面相撞，再逐步增加偏心距離；切換撞球模式後，比較母球與子球的飛行方向。

操作任務與實驗步驟

  1. 建立正面碰撞

    先預測：球心與速度都在同一直線時，會出現垂直速度嗎？ 讓兩球心與速度向量在同一直線，確認結果和一維碰撞一致。

  2. 增加撞擊參數

    先預測：只把藍球向上移，兩球會往哪裡偏？ 選「非對心（擦撞）」後，先把兩球垂直位置都設為 0 m 做一次對心碰撞；重置後只把藍球垂直位置改為 1 m，其他設定不變，再比較碰後方向。

  3. 分別核對兩個方向

    先預測：兩球都出現垂直速度，垂直總動量還可能為零嗎？ 記錄碰撞前後的 \(x\)、\(y\) 動量總和，確認兩個方向都獨立守恆。

  4. 觀察法線與切線分量

    先預測：球心連線傾斜時，速度改變量會沿哪個方向？ 以碰撞瞬間的球心連線為法線，判斷哪些速度分量被改變。

  5. 切換撞球模式

    先預測：瞄準子球中心與側面，母球碰後路徑會相同嗎？ 調整母球入射方向，嘗試讓子球沿指定方向移動，並觀察母球碰後路徑。

四、觀察與解釋

分量守恆可分開檢查

在外力衝量可忽略的兩球碰撞中，\(x\) 與 \(y\) 方向的總動量分別守恆。初始垂直總動量為零，並不要求碰後每顆球的垂直速度都為零；兩球可以分別向上與向下，只要質量加權後的垂直速度相加為零。水平與垂直分量也不能混在一起抵銷。

偏心碰撞改變飛行方向

對心碰撞時，球心連線沿水平方向，結果與一維碰撞相同。保持兩球質量、初速度與恢復係數，只把一球的垂直位置改變，接觸時的法線便會傾斜，碰後速度也會轉向。偏移太大時兩球根本不會接觸，因此要先確認碰撞確實發生，再比較路徑。

對心碰撞後藍球的速度箭頭水平向左，紅球的速度箭頭水平向右。
圖 1｜對心碰撞：仍沿水平離開。兩球都是 20 kg，初速分別為 +6、−6 m/s，e＝1；兩球垂直位置都為 0 m。碰後交換水平速度，垂直速度仍為零。
偏心碰撞後藍球箭頭向左上，紅球箭頭向右下；兩球速度方向不再沿水平方向。
圖 2｜偏心碰撞：分向上下。只把藍球初始垂直位置改為 +1 m，紅球仍在 0 m；兩球碰後分別向左上與右下離開。水平、垂直總動量都仍為零，總動能仍為 720 J；轉向不代表總動量改變。

碰撞衝量沿球心連線

光滑球接觸時，碰撞衝量沿球心連線，改變的是法線速度分量；與法線垂直的切線分量保持不變。法線與切線通常不等於固定的水平與垂直方向，因此不能把偏心碰撞當成沿固定座標軸各做一次一維碰撞。先投影、處理法線碰撞，再合成速度，才能解釋開頭的轉向。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 二維動量守恆可拆成 \(x\)、\(y\) 兩條分量方程。
  • 兩個方向的動量分量必須分別守恆，不能混在一起抵銷。
  • 光滑球碰撞時，碰撞衝量沿兩球心連線。
  • 法線速度分量依一維碰撞公式改變，切線分量保持不變。
  • 撞擊參數會影響法線方向，因此決定碰後飛行路徑。

延伸思考與挑戰題

  1. 等質量兩球中一球靜止，另一球以任意角度撞上，且為完全彈性碰撞。碰後兩球速度方向的夾角是多少？請用模擬器驗證。
  2. 在撞球模式中，能否找到讓母球撞擊子球後完全停住的條件？這和質量、撞擊方向及能量守恆有何關係？
  3. 若兩球為 \(e=0\) 的完全非彈性碰撞，碰後合體會往哪個方向移動？請使用總動量向量除以總質量求速度。

第三題假設兩球確實黏合為一體，才能把總動量向量除以總質量作為共同速度。這與本模擬器的光滑球模型不同：偏心碰撞中即使 \(e=0\)，也只讓法線相對速度歸零，切線相對運動仍可存在。第一題的直角結論則適用於碰後兩球速度皆非零的情況。