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動量一直守恆，動能卻要看碰撞有多「彈」

一維碰撞

調整兩球的質量、速度與恢復係數，從速度交換、部分能量損耗到碰後黏合，直接比較碰撞前後的總動量與總動能。

力學 高中物理 閱讀 10 分鐘

最後更新

藍球與紅球沿同一直線碰撞，畫面同步顯示兩球速度、總動量、總動能與恢復係數
恢復係數從 \(1\) 降到 \(0\) 時，動量仍守恆，但碰後相對速度與保留的動能逐漸減少。

一、問題與學習目標

兩球碰撞後，什麼一定守恆，什麼可能減少？

兩顆球迎面相撞，有時交換速度，有時一起往前走。碰後速度差很多，為什麼總動量仍可相同？關鍵在於把兩球當作一個系統，並區分動量與動能各自的守恆條件。

先用等質量兩球建立比較起點，再保持初速度不變，只調整恢復係數。你會先預測兩球是反彈還是共同移動，接著從速度箭頭與面板讀值核對，最後用動量方程和動能計算解釋差異。

學習目標

  • 使用動量守恆連結碰撞前後的速度。
  • 說明恢復係數 \(e\) 如何描述碰撞前後的相對速度。
  • 區分完全彈性、一般非彈性與完全非彈性碰撞。
  • 比較不同質量比對碰後速度分配的影響。
  • 判斷碰撞中動量是否守恆，以及動能損耗多少。

二、核心概念與原理

先選正方向，再用動量與相對速度決定結果

動量守恆提供一條方程；恢復係數再提供碰撞前後相對速度的關係。

碰撞不會讓孤立系統的總動量消失，但可以把部分動能轉成熱、聲音與形變。

動量守恆

$$ p_{\mathrm{before}}=p_{\mathrm{after}} $$

系統合外力衝量可忽略時，任何碰撞類型都必須滿足。

恢復係數

$$ e=\frac{\text{分離相對速率}}{\text{接近相對速率}} $$

\(=1\) 完全彈性；\(e=0\) 時兩物碰後沒有分離相對速度。

碰撞前後的動量

一維動量守恆

$$ m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2' $$
  • 兩物體的質量。
  • 碰撞前速度；本文取向右為正。
  • 碰撞後速度。

恢復係數如何連結速度？

相對速度關係

$$ e=\frac{v_2'-v_1'}{v_1-v_2}, \qquad 0\le e\le1 $$
  • \(e=1\)：完全彈性碰撞，總動能守恆。
  • \(0<e<1\)：一般非彈性碰撞，部分動能轉為其他形式。
  • \(e=0\)：完全非彈性碰撞，兩物碰後速度相同。

兩個重要特例

完全彈性碰撞的碰後速度

$$ \begin{aligned} v_1'&=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 +\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2 \\ v_2'&=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1 +\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2 \end{aligned} $$

若 \(m_1=m_2\)，則 \(v_1'=v_2\)、\(v_2'=v_1\)，兩球交換速度。

完全非彈性碰撞的共同速度

$$ v'=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2} $$

兩物碰後黏合，動能損耗達到在既定初始條件下的最大值。

三、操作與實驗

保持質量與初速，只改恢復係數

設定兩球的質量、初速度與恢復係數，再觀察碰撞動畫、碰後速度、總動量和總動能。

先用重置回到碰前狀態，再調整參數。以下比較固定兩球都是 2 kg，藍球向右 5 m/s、紅球向左 3 m/s；每次碰後先暫停讀值，再重置進行下一次。

操作提示：先用快速情境比較等質量、第一球較輕與第一球較重；再把 \(e\) 從 \(1\) 逐步調到 \(0\)，記錄碰後速度與動能。

操作任務與實驗步驟

  1. 建立等質量完全彈性碰撞

    先預測：等質量、完全彈性碰撞後，兩球的速度會如何交換？ 令 \(m_1=m_2\)、\(e=1\)，設定不同初速度，預測兩球是否交換速度。

  2. 逐步降低恢復係數

    先預測：保持初始條件，只把恢復係數降低，碰後速度差會怎樣改變？ 保持質量與初速度不變，依序比較 \(e=1\)、\(0.5\) 與 \(0\) 的碰後結果。

  3. 檢查總動量

    先預測：兩球各自的速度改變，總動量也會改變嗎？ 每次碰撞前後記錄總動量，確認在數值誤差範圍內保持不變。

  4. 檢查總動能

    先預測：動量相同的三次實驗，碰後總動能會相同嗎？ 比較不同 \(e\) 的總動能變化，找出何時守恆、何時損耗最大。

  5. 交換重球與輕球

    先預測：交換重球與輕球的角色，哪一球的速度改變較明顯？ 比較 \(m_1\gg m_2\) 與 \(m_1\ll m_2\)，觀察哪個物體的速度改變最明顯。

四、觀察與解釋

總動量始終守恆

先選向右為正方向，再把反向速度帶負號相加。只要碰撞期間的外力衝量可忽略，兩球受到的內部衝量互相抵銷，總動量便保持不變。各球動量可以改變；不能因為某一球反彈，就判斷整個系統的動量不守恆。

\(e\) 愈小，分離速度愈小

等質量且 \(e=1\) 時，兩球交換速度。保持質量與初速度不變，降低 \(e\)，碰後分離的相對速度會減少；\(e=0\) 時兩球以共同速度移動。這個共同速度由原來的總動量決定，所以「不再分離」並不等於「兩球都停止」。

碰撞後藍球速度箭頭向左，標示負三公尺每秒；紅球箭頭向右，標示五公尺每秒。
圖 1｜完全彈性：交換速度。兩球都是 2 kg，碰前藍球為 +5 m/s、紅球為 −3 m/s。e＝1 時，碰後藍球為 −3 m/s、紅球為 +5 m/s，向兩側離開；總動量 4 kg·m/s、總動能 34 J。
一般非彈性碰撞後，藍球箭頭向左、標示負一公尺每秒；紅球向右、標示三公尺每秒，箭頭都比完全彈性時短。
圖 2｜一般非彈性：分離變慢。保持質量與初速，只把 e 改為 0.5，碰後藍球為 −1 m/s、紅球為 +3 m/s。總動量仍是 4 kg·m/s，總動能剩 10 J；較短的速度箭頭呈現較小的分離速度。

動能不一定守恆

完全彈性碰撞前後的總動能相同，非彈性碰撞則有部分動能轉成熱、聲音或形變。以下實驗的初始總動能是 34 J；當 \(e=0.5\) 時剩下 10 J，當 \(e=0\) 時剩下 2 J。總動量都仍是 4 kg·m/s，可見動量守恆不足以保證動能守恆。

三種碰撞的數值比較

下表固定 \(m_1=m_2=2\ \mathrm{kg}\)、\(v_1=5\ \mathrm{m/s}\)、\(v_2=-3\ \mathrm{m/s}\)。初始總動量為 4 kg·m/s，總動能為 34 J；損耗百分比以初始總動能為分母。

恢復係數改變時的碰撞結果
碰撞類型 \(e\) \(v_1'\)（m/s） \(v_2'\)（m/s） 動能損耗
完全彈性1.0−3.05.00%
一般非彈性0.5−1.03.0約 70.6%
完全非彈性01.01.0約 94.1%

以總動能核對：完全彈性碰後為 34 J，一般非彈性為 10 J，完全非彈性為 2 J。最後一種仍有共同平移的動能，所以最大動能損耗不代表動能一定降到零。

常見錯誤與迷思

五、整理與應用

重點整理

  • 孤立系統的一維碰撞滿足動量守恆。
  • 恢復係數比較碰後分離相對速度與碰前接近相對速度。
  • \(e=1\) 時為完全彈性碰撞，總動能守恆。
  • \(e=0\) 時為完全非彈性碰撞，兩物碰後速度相同。
  • 不同質量比會改變動量與速度在兩物體間的分配。

延伸思考與挑戰題

  1. 令 \(m_1=1\ \mathrm{kg}\)、\(v_1=6\ \mathrm{m/s}\)，\(m_2=3\ \mathrm{kg}\)、\(v_2=0\)，且 \(e=1\)。求碰後兩球速度，再用模擬器驗證。
  2. 在 \(m_1\gg m_2\) 的完全彈性碰撞中，輕球碰後速度大約如何？這和保齡球撞球瓶有什麼關聯？
  3. 使用上表條件，完全非彈性碰撞後共同速度為 \(1\ \mathrm{m/s}\)。請計算損耗的動能，並說明能量轉換到哪裡。