把七個基本單位，拼成整座物理世界
單位與因次
不用從一長串導出單位開始硬背；先掌握七個 SI 基本單位，再透過拖曳拼圖與因次分析，理解速度、力、能量和壓力是怎麼組成的。
一、問題與學習目標
公尺每秒與公里每小時，單位不同，因次也不同嗎？
同一輛車的速率，寫成公尺每秒或公里每小時，數字會不同，但車子並沒有因此變快。單位換了，究竟什麼改變、什麼沒有改變？這個問題能幫我們把單位換算與因次分析分開。
以下先用七個 SI 基本單位，拆解速度、力、能量與壓力，再把單位符號換成基本因次。每題先說明物理量之間的關係，再拼出符號；最後用因次一致性檢查公式，也看看這種檢查有哪些限制。
學習目標
- 辨認 SI 制的七個基本量、基本單位與單位符號。
- 使用基本單位組合速度、加速度、力、壓力與能量等導出單位。
- 運用 \([M]\)、\([L]\)、\([T]\) 等基本因次表示常見物理量。
- 利用單位與因次一致性，檢查物理公式是否可能成立。
二、核心概念與原理
換算單位與拆解因次，是兩種不同的問題
所有導出單位都能拆回基本單位；所有導出因次也能拆回基本因次的乘積與次方。
單位告訴你「用什麼標準量測」，因次告訴你「這個物理量由哪些基本量組成」。
單位：採用哪一種量測標準？
同一段長度可以用公尺或公分表示。換了單位，數值會跟著改變，實際長度不變。
因次：物理量的基本結構是什麼？
公尺與公分都描述長度，因此因次同為 \([L]\)。因次保留基本量的結構，不記錄使用哪一個單位。
不同單位，也可以有相同因次
車子的速率可以用 m/s 或 km/h 表示。兩者都描述路程與時間的關係，因此因次相同，但數值不能直接互換。例如 \(10\,\mathrm{m/s}=36\,\mathrm{km/h}\)，不是 \(10\,\mathrm{km/h}\)。
做單位換算時，要處理換算比例；做因次分析時，則關注物理量之間的結構。先分清這兩件事，再進入單位拼圖與因次分析挑戰。
SI 制的七個基本單位
國際單位制選定七個彼此獨立的基本量。常見的速度、力、能量與電壓等導出量，都能由這七個基本單位組合而成。
| 基本量 | 基本單位 | 單位符號 | 基本因次 |
|---|---|---|---|
| 長度 | 公尺 | ||
| 質量 | 公斤 | ||
| 時間 | 秒 | ||
| 電流 | 安培 | ||
| 熱力學溫度 | 克耳文 | ||
| 物質的量 | 莫耳 | ||
| 發光強度 | 燭光 |
兩種挑戰模式
先從具體的單位組合出發，再用基本因次重新檢查物理量之間的關係。重點是能說明自己的推導，而不只是拼對符號。
模式一：SI 單位拼圖
提供 m、kg、s、A、K、mol、cd 七種拼圖。前六題依序練習速率、加速度、力、壓力、能量與功率，最後兩題挑戰電荷量與電壓；共八題。
模式二：因次分析
使用 \([M]\)、\([L]\)、\([T]\)、\([I]\)、\([\Theta]\)，組合速度、加速度、力、壓力、能量與功率，共六題。
三、操作與實驗
先從物理定義推導，再用拼圖核對
從基本單位庫拖曳方塊到分子或分母，或先點選單位再點選空格，完成後提交答案；也可以切換到因次分析模式重新挑戰。
先在新視窗開啟純模擬，選「單位拼圖」後按「開始挑戰」。每題先說出定義與乘除關係，再點選基本單位、點選分子或分母空格；也可拖曳或用鍵盤完成。這個互動以方塊呈現答案，正文保留推導供回顧，不需要另看一張作答畫面。
拖曳拼圖，或先點單位再點空格，完成後提交。答對會自動進入下一題；答錯時，先想想提示中的物理關係，再修正組合。
操作、計分與錯題重練說明
- 同一個單位可以連續填入多個空格；點選拼圖上的移除按鈕可以清除。
- 鍵盤可用 Tab 移動焦點，Enter 或空白鍵選取與填入，Delete 清除空格，Esc 取消選取。
- 兩種模式的首答得分都以 100 分為滿分：首次答對題數 ÷ 總題數 × 100，四捨五入至小數一位。例如首次答對 5/6 題是 83.3 分。
- 答錯仍可重試，但該題不再得分；空格未填完不算一次作答，清空重填不會取消已記錄的錯答。
- 答對後可在操作面板回看上一題推導；完成挑戰後，可展開錯題回顧，或選擇「只重練錯題」。重練保留原始分數，另外顯示練習進度。
- 切換模式或重新挑戰全部題目，會重新計分。
操作任務與實驗步驟
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完成第一個 SI 單位拼圖
先用一句話說明速率是路程除以時間，再把公尺放在分子、秒放在分母，提交答案。答對後看操作面板的推導，再進入下一題；答錯則先閱讀提示，回到定義修正組合。
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比較速率與加速度
先預測加速度為什麼多一個時間分母，再完成第二題。把速度的單位展開後再除以時間，核對分子的一個公尺與分母的兩個秒。可以連續填入同一種方塊；次方來自重複因子，不是新增的基本單位。
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拼出力、壓力與能量
依序推導力、壓力、能量與功率，再做電荷量與電壓，共八題。先用質量乘加速度得到力，再以垂直力分量除以面積推導壓力；約去一個長度因子後才填入基本單位。每題答對後讀上一題推導，不把清空重填當成取消錯答紀錄。
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切換到因次分析模式
完成單位模式或先記下推導後，切換「因次分析」，重新完成速度、加速度、力、壓力、能量與功率六題。先預測再核對：單位名稱換成基本因次後，乘除與次方結構保持一致。切換模式會重新計分；完成後若有錯題，可展開回顧或只重練錯題，原始分數會保留。
-
用因次檢查一條公式
在正文或紙上任選一條課本公式，把左右兩邊拆成基本因次。先判斷不同因次能否相等，再比較動能式中不同的數值係數：即使因次相同，也不能直接判定公式完整正確。這一步是課本推導練習，模擬器沒有任意公式輸入欄。
四、觀察與解釋
導出單位可以逐層拆解
導出單位不是一套彼此無關的新符號。由力等於質量乘加速度，可以把牛頓拆成公斤、公尺與秒；由力沿位移作功，又能把焦耳拆成牛頓乘公尺。每一步都回到定義或物理關係，符號的乘除才有理由，而不只是把拼圖放進空格。
次方代表重複的結構
加速度是速度變化量除以時間，速度本身已含一個時間分母，因此加速度的時間因子出現兩次。這個結構會延續到力、壓力與能量的單位；拼圖中的重複方塊對應次方，不能把兩個時間因子誤當成兩種不同單位。壓力的約分則需要再看面積帶來的兩個長度因子，下面逐步拆開。
因次只檢查結構
公尺每秒與公里每小時都描述長度除以時間，所以因次相同；比較它們的數值仍需要換算單位。公式左右因次不同，能指出推導有問題；左右相同，卻不能決定無因次係數、加減號或完整函數關係。非相對論動能的係數就需要由物理推導或實驗確認，不能只靠因次一致。
作答後回顧：壓力的單位如何約分？
先由 \(F=ma\) 得到力的單位，再除以面積。壓力使用垂直於表面的力分量，\(p=F_\perp/A\)。
從牛頓拆回基本單位
力的單位：\(\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}\)。面積的單位：\(\mathrm{m^2}\)。
$$\mathrm{Pa}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}}=\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s^2\cdot m^2}}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m\cdot s^2}}$$
分子的一個 m 與分母的一個 m 約去，剩下一個 m 在分母，因此 \([p]=[M][L]^{-1}[T]^{-2}\)。
推導功與能量時，定力作功的一般式為 \(W=Fd\cos\theta\)，\(\theta\) 是力與位移的夾角；只有同方向時才簡化成 \(W=Fd\)。因為 \(\cos\theta\) 無因次，功的單位仍為 \(\mathrm{N\cdot m}=\mathrm{J}\)。電壓則是兩點間電位能差除以電荷量，\(\Delta V=\Delta U/q\)，單位為 \(\mathrm{J/C}=\mathrm{V}\)。
課堂趣聞：找到 Bug 的小機靈鬼
原始課堂測試時，有學生找到了可以重複刷高分的程式漏洞。這也成為課堂上的提問：如果你是工程師，會怎麼修改判斷邏輯，避免同樣的答案被重複計分？
這段插曲提醒我們：看見一個結果後，還要追問它是怎麼得到的。檢查物理公式時，也可以先從單位與因次檢驗推導過程。
常見錯誤與迷思
五、整理與應用
重點整理
- SI 制包含七個基本量與對應的基本單位。
- 所有導出單位都能寫成基本單位的乘積與次方。
- 因次表示物理量的基本結構，不包含特定單位名稱。
- 物理方程式左右兩邊的因次必須一致。
- 因次一致是公式成立的必要條件，但不是充分條件。
延伸思考與挑戰題
- 同學把加速度的單位寫成 m/s。你會如何從加速度的定義說明問題，而不只是告訴他正確答案？
- 能量與壓力的因次有什麼不同？請用 \([M]\)、\([L]\)、\([T]\) 分別寫出它們。
- 因次正確但公式仍然錯誤的情況可能怎麼發生？比較非相對論動能的 \(mv^2\) 與 \(\tfrac12 mv^2\)：兩者因次相同，因次分析能決定哪個係數正確嗎？
- 兩位同學分別用 m/s 與 km/h 表示速率。他們的單位不同，因次是否也不同？在比較數值前，還需要做什麼？
