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把兩個波逐點相加，看懂干涉如何形成駐波

波的疊加與駐波

比較兩個反向行進波在相遇前、重疊時與穿越後的形狀，再追蹤不動的波節與振幅最大的波腹。

波動與光學 高中物理 閱讀 10 分鐘

最後更新

兩個反向行進波逐點疊加成合成波，下方標示駐波的波節與波腹位置
先辨認兩個行進波的方向，再比較合成波；駐波上固定不動的位置是波節，振幅最大的位置是波腹。

這篇在解決什麼問題

波相遇時不是彼此撞散，也不會永久合併成一個新波。真正發生的是：介質中每一點的位移暫時相加，而兩個分量波在重疊後仍各自繼續傳播。

當兩個等振幅、同頻率、同波長的波朝相反方向傳播時，疊加圖形會出現固定的波節與波腹。這篇文章用同一個模擬器連起「逐點相加、干涉、駐波」三個觀念。

學完這篇文章後，你將能夠

學習目標

  • 說明疊加原理如何決定兩個波重疊處的合位移。
  • 判斷同方向位移與反方向位移疊加後，振幅如何增強或減弱。
  • 辨認駐波中的波節、波腹及其振動差異。
  • 比較波長改變前後，相鄰波節的距離如何變化。
  • 觀察波在疊加後仍保留原來的傳播方向與形狀。
  • 自行畫出任意波形，檢驗非週期波包也遵守疊加原理。

30 秒核心公式與概念速覽

疊加只做一件事：在同一位置、同一時刻，把各分量波造成的位移連同正負號一起相加。

疊加原理

y(x, t) = yA(x, t) + yB(x, t)

同方向的位移相加會增強；反方向的位移相加會減弱，大小相等時可在該處瞬間抵消。

駐波的波節間距

Δx節 = λ / 2

相鄰波節相隔半個波長；波節始終不動，相鄰波節正中央是波腹。

一句話掌握

干涉是波在重疊區域的疊加結果；駐波則是兩個條件相同、方向相反的週期波持續疊加所形成的固定空間圖樣。

增強與減弱取決於當下位移

如果兩個分量波在某一點都使介質向上，合位移的大小會增加；如果一個向上、另一個向下，就要以代數和計算。所謂建設性或破壞性干涉，描述的是重疊處的合位移，不代表波的能量或波形在相遇後被永久消除。

駐波為什麼看起來不向前走

在理想駐波模式中，兩個分量波具有相同振幅、波形、頻率與波長，但傳播方向相反。合成後，每個位置仍隨時間振動，只是波節與波腹的位置固定，因此整個圖樣看起來沒有向左或向右傳播。

自己畫一個波，也會遵守疊加原理嗎

「自繪波」模式不要求 A 波一定是 sin 波、方波或三角波。你可以直接在畫布中央拖曳出任意波形；模擬器會建立一個等幅反相的 B 波，讓兩個波包從左右兩側相向傳播。這個模式能檢查疊加原理不是特定公式的特例：即使波形不規則，重疊處仍然逐點相加，穿越後仍各自保留原來的形狀。

讀圖時先分清三個量

  • 波節合位移始終為零的位置。
  • 波腹振幅最大的位置，位於相鄰波節之間。
  • 各分量波與合成波相對平衡位置的瞬時位移。
  • 分量波的傳播速度，模擬器以 v = fλ 顯示。
  • 介質粒子完成一次振動所需的時間，模擬器會隨頻率更新。

互動模擬實驗室

先用一般疊加追蹤兩個有限波包，再切換理想駐波標示波節與波腹，最後親手畫出自己的波形檢驗疊加原理。

操作提示：可在「同線疊加」與「分開比較」之間切換；理想駐波模式可標示波節與波腹；自繪波模式可在畫布中央拖曳出 A 波。畫布取得焦點後也能按空白鍵播放或暫停。

操作任務與實驗步驟

  1. 分開比較三條波形

    保持「一般疊加」，選擇「分開比較」後按開始。依序追蹤 A 波、B 波與合成波，確認合成波在每一點都等於兩個分量波位移的代數和。

  2. 比較同相與反相的重疊

    重設後讓 A、B 波都使用相同的 sin 波、振幅與波長，分別選擇同相 0° 與反相 180°。觀察兩個波包重疊時，合成振幅如何改變。

  3. 確認波在相遇後繼續傳播

    切回「同線疊加」並播放到結束，追蹤 A 波向右、B 波向左的標示，觀察兩波穿越重疊區後的形狀與方向。

  4. 找出固定的波節與波腹

    切換到「理想駐波」，開啟波節與波腹標示，再按開始。比較波節、波腹及其間粒子的振動幅度。

  5. 改變波長並測量節距

    在理想駐波模式調整波長，觀察相鄰波節的距離是否維持為半個波長，並比較同一畫面內的波節數量。

  6. 畫出自己的波形

    切換到「自繪波」，在畫布中央的繪製區拖曳出一個不對稱的 A 波。完成後按開始，觀察等幅反相的 B 波如何從右側接近、與 A 波逐點疊加，再穿越重疊區。

你應該觀察到什麼

01

合位移逐點相加

兩個波包重疊時，合成波同時包含增強與減弱的位置；結果取決於該點兩個位移的大小與正負。

02

任意波形也能穿越

無論使用預設波形或自行畫出的不規則波形，短暫重疊後 A 波仍向右、B 波仍向左，兩者保留原來的形狀與傳播速度。

03

波節與波腹位置固定

理想駐波的波節始終不動，波腹振幅最大；波長增加時相鄰波節變遠，同一範圍內的波節數量減少。

重點整理

  • 合位移等於所有分量波位移的代數和。
  • 同方向位移會增強，反方向位移會減弱或抵消。
  • 線性波相遇時只在重疊區暫時形成合成波，穿越後各自繼續傳播。
  • 自繪波顯示疊加原理也適用於不規則、非週期的有限波包。
  • 理想駐波由條件相同、方向相反的週期波持續疊加形成。
  • 波節不動、波腹振幅最大，相鄰波節距離為 λ / 2。

常見錯誤與迷思

延伸思考與挑戰題

  1. 若某一時刻 A 波在一點造成 +0.40 m 位移，B 波造成 −0.25 m 位移，該點的合位移是多少？
  2. 理想駐波的波長由 2.0 m 改為 3.0 m 時，相鄰波節距離各是多少？同一段 8 m 範圍內的波節數量會如何改變？
  3. 在一般疊加模式把兩波設為不同振幅，完全反相時的合位移還能在所有重疊位置都抵消嗎？請用疊加原理解釋。
  4. 開啟介質粒子顯示後，比較波節、接近波節與波腹位置的粒子。它們的振幅有何不同？
  5. 在自繪波模式畫出左右不對稱的波峰與波谷。兩波完全重疊時，哪些位置抵消、哪些位置仍有合位移？