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從波前間距，看懂接近與遠離時的頻率變化

都卜勒效應

改變波源與觀察者的速度，在 3D 空間中比較前後方波前、接收頻率，以及波源超過音速後形成的馬赫錐。

波動與光學 高中物理 閱讀 10 分鐘

最後更新

救護車駛近時前方波形較密、駛離後方時波形較疏，分別對應較高與較低接收頻率的示意圖
移動波源使前方波前聚集、後方波前拉開，因此觀察者接收到的頻率會隨相對運動改變。

這篇在解決什麼問題

救護車靠近時聲音變尖、遠離後聲音變低，是都卜勒效應最熟悉的例子。真正容易混淆的是：波源發出的頻率其實沒有改變，改變的是波前抵達觀察者的時間間隔，也就是觀察者接收到的頻率。

這篇文章會先從波前間距建立直覺，再用模擬器同時改變波源與觀察者速度，對照前方與後方頻率。最後把波源加速到音速以上，觀察球形波前如何疊加成馬赫錐。

學完這篇文章後，你將能夠

學習目標

  • 說明波源接近與遠離時，波前間距和接收頻率如何改變。
  • 區分波源頻率與觀察者接收頻率。
  • 利用聲波都卜勒公式判斷移動波源與觀察者造成的頻率變化。
  • 比較前方與後方觀察者所接收的不同頻率。
  • 觀察波源達到或超過音速時，波前如何形成震波與馬赫錐。

30 秒核心公式與概念速覽

都卜勒效應描述波源與觀察者相對介質運動時，觀察者接收頻率與波源頻率之間的差異。

移動波源與觀察者

fobs = f0 (c − vo,away) / (c − vs,toward)

觀察者朝波源移動或波源朝觀察者移動，都會提高接收頻率。

馬赫數

M = vs / c

M = 1 表示波源達到音速；M > 1 表示波源進入超音速狀態。

一句話掌握

波前抵達得越密集，接收頻率越高；抵達得越疏，接收頻率越低。

波前間距為什麼會改變

波源每隔固定時間發出一個球形波前。若波源保持靜止，每個波前都有同一個中心，向各方向的間距相同。波源向前移動時，下一個波前會從更靠前的位置發出，所以前方波前被壓縮，後方波前被拉開。

觀察者位在波源前方時，較短的波前間距使波峰更頻繁抵達，接收頻率升高；位在後方時，較長的波前間距使接收頻率降低。波源本身仍以原來的頻率發波。

觀察者移動時怎麼判斷

觀察者朝波源移動時，會在相同時間內迎向更多波前，因此接收頻率上升；遠離波源時，遇到波前的速率降低，接收頻率下降。聲波以介質為參考，因此波源速度與觀察者速度在公式中扮演不同角色。

公式中的物理量與正方向

  • 觀察者接收頻率，單位為赫茲（Hz）。
  • 波源發波頻率；模擬器固定為 5.00 Hz。
  • 波在介質中的傳播速率；模擬器以 100 m/s 作為計算值。
  • 觀察者遠離波源方向的速度分量；若朝波源移動，此量為負。
  • 波源朝向觀察者方向的速度分量；若遠離觀察者，此量為負。

馬赫錐如何形成

當波源速度等於音速，波源會追上自己先前發出的波前；當速度超過音速，波源跑到部分波前前方，不同時刻發出的球形波前包絡成錐面。震波抵達觀察者時，會造成壓力在短時間內明顯改變，形成音爆。

互動模擬實驗室

調整波源馬赫數與綠色觀察者速度，對照 3D 波前、前後方接收頻率與超音速震波。

操作提示：手機與平板先展開控制面板。按下「開始模擬」後，可切換半實體剖面來看波前間距，或切換綠色觀察者第一人稱視角。

操作任務與實驗步驟

  1. 建立靜止波源的基準

    按下「重設」，把波源速度調成 0.0 Mach，保持前方觀察者速度為 0.0 Mach。確認前方與後方接收頻率都等於 5.00 Hz。

  2. 比較前方與後方頻率

    把波源速度調成 0.5 Mach，按下「開始模擬」。比較綠色前方觀察者與藍色後方觀察者的即時頻率，並觀察兩側波前間距。

  3. 改變前方觀察者速度

    保持波源速度為 0.5 Mach，分別把綠色觀察者速度調成 0.5 Mach 與 −0.5 Mach。比較遠離波源與迎向波源時的接收頻率。

  4. 從觀察者位置觀看

    開啟「綠色觀察者第一人稱視角」，觀察波前抵達的時間間隔；再回到全景視角並開啟半實體剖面模式，比較兩種視角提供的資訊。

  5. 跨過音速門檻

    把波源速度依序調成 1.0 Mach 與 1.5 Mach，重新開始模擬。觀察波源追上波前，以及超音速時波前疊加成錐面的過程。

你應該觀察到什麼

01

前密後疏形成頻率差

波源向右移動時，前方波前較密、接收頻率較高；後方波前較疏、接收頻率較低。

02

觀察者速度也會改變頻率

前方觀察者遠離波源時，接收頻率下降；朝波源移動時，單位時間內遇到更多波前，接收頻率上升。

03

超音速形成震波錐面

波源超過音速後會越過先前發出的部分波前；多個球形波前的包絡面形成馬赫錐。

重點整理

  • 都卜勒效應改變的是觀察者接收到的頻率，不是波源本身的發波頻率。
  • 移動波源使前方波前間距縮短、後方波前間距增加。
  • 觀察者朝波源移動時接收頻率上升，遠離時接收頻率下降。
  • 聲波公式中的波源與觀察者速度都以介質為參考，不能只看兩者的相對速度。
  • 波源達到音速會追上波前；超過音速後，波前包絡形成馬赫錐與震波。

常見錯誤與迷思

延伸思考與挑戰題

  1. 波源頻率為 5.00 Hz、波源速度為 0.5 Mach，前方與後方靜止觀察者的接收頻率各是多少？請和模擬器的即時數值比較。
  2. 保持波源速度為 0.5 Mach。為什麼前方觀察者也以 0.5 Mach 同向移動時，接收頻率會回到 5.00 Hz？
  3. 若前方觀察者改為朝波源移動，公式中的 vo,away 應為正值還是負值？這會如何改變接收頻率？
  4. 把波源速度從 0.9 Mach 調到 1.1 Mach，波前幾何結構出現了什麼改變？為什麼超音速前方不能再用一般穩態頻率來描述？