速度在變，提供向心力的角色也一直在變
鉛直面圓周運動
把張力、重力與速度向量畫出來，找出小球完整繞過最高點所需的臨界初速。
這篇在解決什麼問題
鉛直面圓周運動不是等速圓周運動。小球上升時動能轉成位能，速度下降；重力沿半徑方向的分量也隨位置改變，因此張力不可能維持固定。
真正的難點不是多背一條向心力公式，而是先畫清楚每個位置朝圓心的方向，再把張力與重力的徑向分量相加。模擬器會同步顯示向量、軌跡與能量，讓這套判斷變成可觀察的過程。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 在圓周任意位置畫出速度、重力與張力或正向力。
- 以徑向合力建立向心力方程式。
- 使用力學能守恆比較最低點與最高點速度。
- 推導繩子剛好不鬆弛的最高點與最低點臨界速度。
- 比較繩子模式與圓形軌道模式的接觸力差異。
30 秒核心公式與概念速覽
向心力不是額外的一種力，而是所有真實力在朝圓心方向的合力。
徑向合力
是繩子張力， 是圓周半徑；\(\theta\) 從最低點量起，正方向取朝圓心。
完整繞圈的最低點臨界速度
是切線速度； 是重力加速度。此式由最高點臨界條件與最低點到最高點的能量守恆得到。
先用受力找「最高點至少要多快」，再用能量守恆倒推「最低點一開始至少要多快」。
最高點臨界條件
繩子剛好不鬆弛
臨界狀態不是最高點速度為零，而是張力剛好降為零，重力獨自提供向心力。
最低點到最高點
力學能守恆
代入 \(v_{\mathrm{top,min}}^2=gR\)，可得 \(v_{\mathrm{bottom,min}}=\sqrt{5gR}\)。質量 \(m\) 會消去，所以臨界速度與質量無關。
三個特殊位置
| 位置 | 繩子模式張力 | 速度 | 能量狀態 |
|---|---|---|---|
| 最低點 | \(T=mg+mv^2/R\) | 最快 | 動能最高 |
| 水平位置 | \(T=mv^2/R\) | 介於兩者 | 動能轉為位能 |
| 最高點 | \(T=mv^2/R-mg\) | 最慢 | 位能最高 |
互動模擬實驗室
切換繩子與圓形軌道模式，調整初速、半徑與質量，觀察張力或正向力、速度及能量如何隨位置改變。
操作提示：選擇繩子或圓形軌道模式，設定出發位置、\(v_0\)、\(R\) 與 \(m\)；展開力學能圖，比較初速高於、等於與低於臨界值的結果。
操作任務與實驗步驟
從最低點以足夠初速出發
選擇繩子模式，讓初速高於臨界值，觀察最低點、水平位置與最高點的速度及張力。
設定剛好臨界
把初速調到臨界值，檢查小球通過最高點時張力是否接近 0，而速度仍不為 0。
讓繩子鬆弛
把初速降到臨界值以下，觀察繩子在哪裡鬆弛，以及小球離開圓周後的速度方向。
比較不同質量
改變 \(m\) 並重做臨界實驗，確認臨界初速是否改變，同時比較張力大小。
切換圓形軌道模式
觀察最高點正向力的方向，並比較軌道接觸力與繩子張力的限制。
你應該觀察到什麼
最低點最快、張力最大
位能最低使速度最大；張力還要克服重力並提供向心力，因此數值最大。
最高點不是停下來
臨界情況下張力為 0，但仍需 \(v=\sqrt{gR}\) 讓重力提供必要的向心加速度。
初速不足會離開圓周
當維持圓周所需的張力變成負值，繩子鬆弛，小球沿當下切線方向進入拋體運動。
重點整理
- 鉛直面圓周運動通常不是等速運動，速度會隨高度改變。
- 向心力是徑向合力，不是額外新增的一種力。
- 繩子模式的最高點臨界條件為 \(T=0\) 與 \(v_{\mathrm{top}}=\sqrt{gR}\)。
- 由能量守恆可得最低點臨界速度 \(v_{\mathrm{bottom}}=\sqrt{5gR}\)。
- 臨界速度與質量無關，但同一運動狀態下的張力會與質量成比例。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 把繩子模式的初速設定為臨界值，最高點張力是多少？為什麼不是負值？
- 圓形軌道模式中，小球在最高點所受的正向力方向如何由「位於軌道內側或外側」決定？
- 質量增加為兩倍時，臨界初速與最低點張力各如何改變？
- 繩子鬆弛後，小球為何沿切線方向離開？請用速度向量說明。