選對支點，就能讓最麻煩的未知力先消失
靜力平衡
拖曳重物與繩索、改變綁點與角度，再切換不同支點，親眼看見張力、重力與樞紐作用力如何同時滿足合力與力矩平衡。
這篇在解決什麼問題
當牆上的樞紐連著木條，木條又掛著重物並由繩索支撐時，最難的往往不是代公式，而是先判斷各力方向、選擇支點，以及辨認真正的力臂。
這篇文章利用互動模擬器把複雜的受力計算變成可以拖曳的系統。你能直接移動重物、繩索綁點與牆上繫點，也能任意切換支點，比較同一個平衡狀態如何寫成不同的力矩方程式。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 判斷繩索張力 \(T\)、重力 \(W\) 與樞紐作用力 \(F\) 的方向和大小關係。
- 使用合力為零與合力矩為零判斷系統是否達到靜力平衡。
- 選擇樞紐作為支點，消去未知樞紐作用力的力矩。
- 比較不同支點所得到的力矩方程式。
- 說明繩索位置與角度如何影響所需張力。
30 秒核心公式與概念速覽
靜力平衡必須同時滿足「不平移」與「不轉動」兩個條件。
合力為零
物體沒有平移加速度，因此水平方向滿足 \(\sum F_x=0\)，垂直方向滿足 \(\sum F_y=0\)。
合力矩為零
物體沒有角加速度，因此順時針力矩等於逆時針力矩；支點可以自由選擇。
選樞紐 \(O\) 為支點時，樞紐作用力通過支點、力矩為零，可以先用力矩平衡求張力。
樞紐問題的三個力
| 作用力 | 方向 | 在問題中的角色 |
|---|---|---|
| 繩索張力 \(T\) | 沿繩索指向牆壁繫點 | 由力矩平衡決定大小 |
| 重力 \(W\) | 垂直向下 | 對樞紐產生順時針力矩 |
| 樞紐作用力 \(F\) | 方向待求，可分解為 \(F_x\)、\(F_y\) | 使水平與垂直合力分別為零 |
以樞紐為支點
力矩平衡與張力
- 重物重量；\(x_m\) 是重物到樞紐的水平距離。
- 繩索張力；\(x_s\) 是繩索綁點到樞紐的距離。
- 繩索綁點到樞紐的距離。
- 繩索與水平木條的夾角。
互動模擬實驗室
直接拖曳重物、木條上的繩索綁點與牆上繫點，觀察張力、樞紐作用力與力矩如何即時更新。
操作提示：拖曳灰色重物、木條上的綠色綁點與牆上的綠色繫點；開啟「分析力矩平衡」後，再切換支點比較方程式。
操作任務與實驗步驟
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畫出三個作用力
先辨認沿繩索的張力、垂直向下的重力，以及由牆壁施加的樞紐作用力。
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移動重物
左右拖曳灰色重物，觀察重力力臂增加時，維持平衡所需的張力如何變化。
-
移動繩索綁點
將木條上的綠色綁點移向外端，增加 \(x_s\)，比較張力數值。
-
改變繩索角度
拖曳牆上繫點，改變 \(\theta\)，觀察繩索愈陡時張力是否變小。
-
切換三個支點
開啟力矩分析，分別選擇樞紐 \(O\)、繩索綁點 \(S\) 與重物位置 \(M\)，比較每種力矩方程式。
你應該觀察到什麼
重物愈遠，張力愈大
\(x_m\) 增加會放大重物力矩，因此繩索必須提供更大的反向力矩。
綁點愈遠，張力愈小
\(x_s\) 增加時，較小的張力就能產生相同力矩。
支點改變，答案不變
切換支點會改變方程式中的力矩項目，但同一平衡狀態的張力與樞紐作用力不會改變。
重點整理
- 靜力平衡同時要求 \(\sum\vec F=0\) 與 \(\sum\vec\tau=0\)。
- 畫受力圖時要標出張力、重力與樞紐作用力。
- 選樞紐為支點，可讓未知樞紐作用力的力矩直接消失。
- 先用力矩平衡求張力，再用水平與垂直合力平衡求 \(F_x\)、\(F_y\)。
- 換另一個支點驗算，應得到相同的物理結果。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 一根 \(10\ \mathrm{m}\) 長的均勻木條，左端固定於樞紐；繩索綁在距樞紐 \(8\ \mathrm{m}\) 處，另一端連接到牆上距樞紐高 \(6\ \mathrm{m}\) 的位置。木條末端掛一個 \(50\ \mathrm{N}\) 重物。求繩索張力與樞紐受力的大小和方向，並用模擬器驗證。
- 保持 \(W=50\ \mathrm{N}\)、\(x_m=6\ \mathrm{m}\)，將繩索綁點從 \(8\ \mathrm{m}\) 移到 \(10\ \mathrm{m}\)，張力如何變化？若再調低牆上繫點使 \(\theta\) 變小，結果又如何？
- 分別以樞紐 \(O\)、繩索綁點 \(S\) 與重物位置 \(M\) 為支點，列出順時針與逆時針力矩。哪一個支點的方程式最簡單？為什麼？