從 \(mgh\) 走向天文尺度的位能
重力位能一般式
用 F–r 圖的面積看懂變力作功，釐清負號、零點與兩位置之間的位能變化。
這篇在解決什麼問題
地表附近常用 \(U=mgh\)，因為一小段高度內的重力可以近似為定值。但衛星、行星或逃逸問題跨越很大的距離，萬有引力會明顯改變，\(mgh\) 就不再適用。
這篇文章從「變力作功」出發，以無窮遠為位能零點，理解為什麼 \(U=-GMm/r\) 帶有負號，以及物體遠離或靠近星球時位能如何變化。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 說明為什麼天文尺度不能直接使用 \(mgh\)。
- 由萬有引力的 F–r 圖理解變力作功。
- 解釋以無窮遠為零點時，重力位能為負的原因。
- 計算兩個半徑位置之間的重力位能變化。
- 使用 \(W_g=-\Delta U_g\) 判斷重力作功正負。
30 秒核心公式與概念速覽
位能零點選在無窮遠時，有限距離的物體屬於引力束縛狀態，因此位能低於零。
重力位能一般式
是萬有引力常數，\(M\) 與 是兩物體質量； 越小，位能越負；\(r\to\infty\) 時，\(\to0\)。
重力作功
為正時位能降低；重力做負功時位能增加。
負號不是「位能不存在」，而是表示物體要獲得能量，才能從引力束縛狀態到達無窮遠的零位能。
從變力作功到位能
萬有引力會隨距離改變
在 F–r 圖上，兩個距離之間曲線下的面積代表重力作功的大小。因為 \(F\) 不是定值，不能直接把整段路程套成 \(F\Delta r\)。
兩點之間的位能變化
物體由 A 點移到 B 點
- \(r_B>r_A\)物體遠離星球，\(\Delta U_g>0\)，重力做負功。
- \(r_B<r_A\)物體靠近星球，\(\Delta U_g<0\)，重力做正功。
- \(r\to\infty\)位能趨近 0，符合零點設定。
互動模擬實驗室
拖動小質量並觀察 F–r 圖，直接把「曲線下面積」與重力作功、位能變化連在一起。
操作提示：調整 \(M\)、\(m\) 與位置；在「無窮遠移至 r」及「兩點之間 A→B」兩種模式間切換，比較曲線面積與位能變化。
操作任務與實驗步驟
觀察 F–r 曲線
保持質量不變，從遠處逐步靠近星球，確認引力是否以非線性方式快速增加。
連結面積與作功
在「無窮遠移至 r」模式拖動小質量，比較不同終點所對應的曲線面積。
比較 A、B 兩點
切換到 A→B 模式，先設定 \(r_B>r_A\)，記錄重力作功及 \(\Delta U_g\) 的正負。
反向移動
改成 \(r_B<r_A\)，檢查作功與位能變化的正負是否互換。
改變質量
分別增加 \(M\) 或 \(m\)，觀察 F–r 曲線與面積是否按質量成比例放大。
你應該觀察到什麼
靠近時引力急遽增加
F–r 曲線不是直線；距離縮小時，\(1/r^2\) 使引力快速上升。
遠離時位能增加
物體由 A 點移向更遠的 B 點，位能由較負的數值接近 0，重力做負功。
靠近時重力做正功
物體向星球移動時，重力方向與位移同向，位能下降並轉換為動能。
重點整理
- 天文尺度的重力是變力，作功要由積分或 F–r 圖面積求得。
- 以無窮遠為零點時，重力位能為 \(U_g=-GMm/r\)。
- 有限距離的重力位能為負，表示物體處於引力束縛狀態。
- 遠離星球時位能增加，靠近星球時位能降低。
- 重力作功與位能變化滿足 \(W_g=-\Delta U_g\)。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 低軌道衛星的軌道半徑近似為地球半徑 \(R\)。請比較它的重力位能、動能與總機械能。
- 利用 \(U_g=-GMm/r\) 與能量守恆，推導物體由星球表面逃到無窮遠所需的最小初速。
- 在模擬器把 \(M\) 調大、\(r_A\) 調小，再逐步拉遠 \(r_A\)。F–r 圖面積如何改變？
- 若位能零點改選在星球表面，\(U_g\) 的公式會如何改寫？物理預測會改變嗎？