質量愈大，對系統平均位置的影響就愈大
質心運動
先拖曳不同質量的質點，建立「加權平均位置」的直覺；再觀察人在船上走與半圓碗中的小球，理解無外力時質心為何保持不動。
這篇在解決什麼問題
質心公式看起來像普通平均，但每個位置都要乘上質量，因此很難只靠符號想像結果。當題目再加入「人在船上走」或碗中的小球，還必須區分物體彼此的相對位移和相對地面的位移。
這篇文章使用兩個互動實驗。第一個讓你拖曳質點、改變質量並猜測質心；第二個呈現人在船上走與半圓碗小球，讓你從不同觀察視角看見內部運動與系統質心的關係。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 說明質心是各位置依質量加權後的平均。
- 估計多質點系統的質心位置，並判斷質量改變後的移動方向。
- 使用質心位置公式計算離散質點系統。
- 說明合外力為零時，系統質心的運動狀態不因內力而改變。
- 區分人在船上走問題中的相對位移與對地位移。
30 秒核心公式與概念速覽
質心是質量加權的平均位置；外力決定整個系統質心如何運動。
質心位置
較大的質量具有較高權重，因此質心更靠近它。
質心運動
若合外力為零，質心速度維持不變；初始靜止時，質心位置保持固定。
系統內部物體可以彼此移動，但內力無法改變整個系統質心的運動。
為什麼是加權平均？
每個位置對質心的影響不相同。相同距離下，質量加倍，對分子的貢獻也加倍；因此質心會落在質量分布較集中的一側。
離散質點系統的變數
- 系統質心的位置向量。
- 第 \(i\) 個質點的質量。
- 第 \(i\) 個質點的位置向量。
- 系統總質量。
人在船上走的位移關係
水平外力可忽略時，人向前走會使船向後漂。兩者都是系統內部運動，必須讓質量加權後的總位移保持為零。
初始靜止時的質心守恆
互動模擬實驗室
先探索質心位置，再用經典題型觀察無外力時的質心守恆。
實驗一：質點與質心探索
拖曳彩色質點、改變質量並移動猜測標靶；也可以開啟隨機挑戰，在顯示答案前先估計質心位置。
操作提示：先移動虛線標靶做出猜測，再按「檢查猜測」；調整質點位置或質量後重新比較。
實驗二：質心守恆經典題型
選擇人在船上走或半圓碗與小球，調整質量與位置，再切換觀察視角比較相對位移和對地位移。
操作提示：拖曳人的位置或啟動小球，觀察另一物體的反向位移；再切換旁觀者與跟隨視角。
操作任務與實驗步驟
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先猜測三質點的質心
不要顯示答案，先把虛線標靶拖到預測位置，再檢查誤差。
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增加其中一個質點的質量
保持位置不變，只增加一個質點的質量，預測並觀察質心移動方向。
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完成隨機挑戰
讓系統改變質量與位置，先憑直覺判斷，再使用加權平均公式核對。
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讓人在船上移動
設定人與船的質量，拖曳人的位置，記錄船的反向位移與系統質心。
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切換參考視角
比較旁觀者、跟隨人與跟隨船的視角，區分相對船的位移和對地位移。
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改用半圓碗與小球
讓小球從一側移到另一側，觀察碗的反向漂移是否同樣維持質心位置。
你應該觀察到什麼
質心靠近較重的質點
只增加一個質點的質量時，質心會沿著該質點方向移動。
人前進，船後退
水平外力可忽略時，人和船的質量加權位移互相抵銷。
視角改變，物理關係不變
不同參考系會改變畫面中的位移描述，但系統質心的對地運動仍由合外力決定。
重點整理
- 離散質點系統的質心是位置的質量加權平均。
- 質量愈大，對質心位置的影響愈大。
- 系統合外力決定質心加速度：\(\vec F_{\mathrm{ext}}=M\vec a_{\mathrm{cm}}\)。
- 沒有合外力時，質心速度保持不變；若原先靜止，質心位置固定。
- 人在船上走時，人與船的對地位移方向相反，並依質量比例分配。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 一個質量 \(60\ \mathrm{kg}\) 的人站在質量 \(180\ \mathrm{kg}\) 的船的一端，在光滑水面上相對船向另一端走 \(4\ \mathrm{m}\)。船對地位移多少？方向為何？
- 三個質點 \(A=10\ \mathrm{kg}\)、\(B=20\ \mathrm{kg}\)、\(C=30\ \mathrm{kg}\)。若把 \(C\) 增加為 \(60\ \mathrm{kg}\)，質心往哪個方向移動？請用挑戰模式驗證。
- 在半圓碗與小球模式中，小球從左端滑到右端，碗往哪個方向漂移？請用 \(m\Delta x_{\text{球}}+M\Delta X_{\text{碗}}=0\) 推導。