轉動慣量變小，角速度就必須增加
角動量守恆
用桌上繩拉小球與雙臂砝碼兩種 3D 實驗，重現滑冰選手收手後加速旋轉的物理。
這篇在解決什麼問題
滑冰選手收起雙臂後會轉得更快，但「半徑變小」和「角速度變大」之間還隔著轉動慣量與角動量兩層關係，只看公式不容易建立連續畫面。
這篇文章提供兩種實驗：從桌底拉短小球的繩子，以及讓對稱砝碼向旋轉軸收縮。你可以同步觀察 \(r\)、\(v\)、\(\omega\) 與 \(L\) 的向量和數值。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 使用 \(L=I\omega\) 連結角動量、轉動慣量與角速度。
- 判斷合外力矩為零時角動量是否守恆。
- 預測旋轉半徑改變後角速度與切線速度的變化。
- 比較單一質點與對稱雙臂系統的轉動慣量。
- 解釋滑冰、跳水與彗星軌道中的角動量守恆。
30 秒核心公式與概念速覽
沒有合外力矩時，系統角動量保持不變；轉動慣量下降，就由角速度上升補償。
角動量
$$ L=I\omega $$
角動量描述系統旋轉狀態，方向沿旋轉軸。
角動量守恆
$$ L_i=L_f $$
成立條件是系統所受合外力矩為零。
一句話掌握
半徑縮小會讓 \(I\propto r^2\) 快速下降，因此 \(\omega\) 必須快速增加，才能讓 \(L\) 不變。
圓周運動質點
角動量的等價寫法
$$ L=mvr=m\omega r^2=I\omega $$
- 角動量，單位 \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\)。
- 角速度；\(v\) 是切線速度。
- 旋轉半徑；質點轉動慣量 \(=mr^2\)。
半徑改變時
單一質點守恆關係
$$ m\omega_1r_1^2=m\omega_2r_2^2 $$
對稱雙臂系統
$$ L=2m\omega r^2 $$
若 \(r\) 縮小為一半，\(I=2mr^2\) 變為四分之一，\(\omega\) 增加為四倍。
互動模擬實驗室
在同一個 3D 模擬器中切換「繩拉向心力」與「雙臂角動量」，比較兩種半徑收縮情境。
操作提示：先改變旋轉半徑，再切換雙臂模式；開啟向量顯示，比較 \(r\)、\(v\)、\(\omega\) 與 \(L\)。
操作任務與實驗步驟
拉短桌上小球的半徑
在繩拉模式逐步減小 \(r\)，記錄切線速度與角速度。
核對角動量數值
比較操作前後的 \(L\)，確認在模擬條件下保持不變。
切換雙臂角動量
讓兩個對稱砝碼同時向內移，觀察旋轉速度。
把半徑縮小為一半
預測角速度增加倍數，再用數據面板驗證。
切換觀察視角與向量
從固定視角與跟隨砝碼視角比較運動描述，並辨認角動量方向。
你應該觀察到什麼
半徑縮小，角速度增加
\(I\) 下降時，\(\omega\) 上升以維持 \(L\)。
平方關係讓變化很明顯
轉動慣量與 \(r^2\) 成正比，因此半徑減半會使轉動慣量降為四分之一。
角動量方向沿旋轉軸
位置與速度向量在旋轉平面內，角動量向量則垂直於旋轉平面。
重點整理
- 角動量可寫成 \(L=I\omega\)。
- 合外力矩為零時，系統角動量守恆。
- 質點轉動慣量為 \(I=mr^2\)。
- 半徑縮小會降低轉動慣量並提高角速度。
- 對稱雙臂系統的轉動慣量為 \(2mr^2\)。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 繩拉模式中，質量從 \(3\) 增加到 \(6\ \mathrm{kg}\)，半徑從 \(30\) 縮到 \(15\ \mathrm{m}\)，且 \(L_0=2700\ \mathrm{kg\cdot m^2/s}\)。求 \(v\) 與 \(\omega\)。
- 雙臂模式把半徑從 \(2.5\) 縮到 \(1.0\ \mathrm{m}\)，角速度增加幾倍？
- 說明跳水選手伸直、縮成團、落水前再伸直三階段的角速度趨勢。
- 彗星靠近太陽時為什麼變快、遠離時變慢？請從太陽重力對太陽的力矩為零說明。