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多一個空間方向，守恆定律仍然用同一套方法

三維碰撞

在可旋轉的立體空間中設定兩球的質量、位置與三方向速度，從一維對心、二維擦撞一路比較到真正的三維斜向交會。

力學 高中延伸／大學普通物理 閱讀 8 分鐘
藍球與紅球在三維座標空間中斜向交會，畫面顯示速度向量與可旋轉觀察視角
改變觀察視角後，球的投影軌跡看起來不同，但空間中的速度向量與動量守恆關係不會改變。

這篇在解決什麼問題

真實世界中的碰撞發生在三維空間，但課堂與紙面圖形往往只能呈現平面投影。當速度同時具有 \(x\)、\(y\)、\(z\) 分量時，很難從單一視角確認兩球是否真的相撞，以及碰後向量如何改變。

這篇文章延續一維與二維碰撞，讓你任意旋轉、平移和縮放觀察視角，並使用三組預設情境比較對心、擦撞與空間斜向交會。複雜的立體運動仍能拆成三個方向分別分析。

學完這篇文章後，你將能夠

學習目標

  • 將三維動量拆成 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三個分量。
  • 分別檢查三方向的動量守恆。
  • 比較一維對心、二維擦撞與三維斜向碰撞。
  • 說明改變觀察視角不會改變碰撞的物理結果。
  • 觀察質量比與恢復係數如何影響碰後速度。

30 秒核心公式與概念速覽

三維碰撞的向量守恆式只有一條，但可以拆成三條分量方程。

向量動量守恆

$$ \vec p_{\mathrm{before}}=\vec p_{\mathrm{after}} $$

只要碰撞期間合外力衝量可忽略，三維總動量向量保持不變。

碰撞法線

$$ \hat n=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|} $$

球面碰撞的衝量沿兩球心連線方向作用。

一句話掌握

立體碰撞不是新的守恆定律，而是把同一個動量向量分別投影到三個互相垂直的方向。

三方向分量守恆

空間動量方程

$$ \begin{aligned} \sum p_x&=\text{常數} \\ \sum p_y&=\text{常數} \\ \sum p_z&=\text{常數} \end{aligned} $$

三個分量獨立檢查，但它們共同組成同一個三維動量 。

速度如何沿碰撞法線改變？

對理想光滑球而言，碰撞衝量只有法線方向。可先把兩球相對速度投影到 ， 依質量與恢復係數 求出衝量，再把速度向量更新。

恢復係數的法線關係

$$ (\vec v_2'-\vec v_1')\cdot\hat n =-e(\vec v_2-\vec v_1)\cdot\hat n $$

互動模擬實驗室

使用預設情境或自行設定兩球的質量、位置、三方向速度與恢復係數，再自由旋轉視角觀察碰撞。

操作提示：左鍵拖曳旋轉視角，右鍵拖曳平移，滾輪縮放；迷失方向時使用「視角歸位」。

操作任務與實驗步驟

  1. 從一維對心情境開始

    選擇「1D 對心」，從不同視角確認兩球路徑仍在同一直線。

  2. 切換到二維擦撞

    選擇「2D 擦撞」，旋轉攝影機比較俯視與側視投影。

  3. 觀察三維斜向交會

    選擇「3D 斜向交會」，確認兩球在 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三方向都有位置或速度差。

  4. 改變質量比與恢復係數

    比較等質量與懸殊質量，再把 \(e\) 從 \(1\) 降低，觀察碰後相對速度。

  5. 使用視角歸位

    任意旋轉、平移和縮放後按下歸位，確認能重新建立方向感。

你應該觀察到什麼

01

維度增加，方法不變

從一維到三維，仍然是對每個互相垂直的方向分別檢查動量守恆。

02

視角可能隱藏深度

某些角度看似相交的軌跡，旋轉後可能發現位於不同深度；三維碰撞必須同時滿足球心距離條件。

03

碰撞改變沿法線的速度

理想光滑球的速度改變量沿球心連線，垂直於法線的分量不受碰撞衝量影響。

重點整理

  • 三維碰撞滿足總動量向量守恆。
  • 向量守恆可拆成 \(x\)、\(y\)、\(z\) 三個分量方程。
  • 理想球面碰撞的衝量沿兩球心連線。
  • 恢復係數控制碰後法線相對速度。
  • 旋轉觀察視角只改變投影，不改變物理狀態。

常見錯誤與迷思

延伸思考與挑戰題

  1. 若三維碰撞為完全彈性碰撞，系統的總動量與總動能在碰撞前後分別如何變化？
  2. 將兩球質量設為極端懸殊，觀察碰後速度大小與方向。哪一球的運動狀態改變較明顯？
  3. 設計一組從俯視看似會相撞、但因 \(z\) 座標不同而擦身而過的初始條件，再旋轉視角驗證。