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把平面運動拆成兩個方向，碰撞就不再神祕

二維碰撞

拖曳兩球的位置與速度向量，改變撞擊角度並切換撞球模式，觀察水平與垂直動量如何同時各自守恆。

力學 高中物理延伸 閱讀 8 分鐘
兩個圓球在平面畫布上斜向碰撞，畫面同步顯示速度與動量向量
改變撞擊角度後，兩球的飛行方向會改變，但總動量在 \(x\) 與 \(y\) 方向仍分別守恆。

這篇在解決什麼問題

二維碰撞比一維多了角度與方向，看起來像是全新的問題。其實核心仍是 守恆，只是必須把向量分解成 \(x\) 與 \(y\) 分量，再讓兩個方向各自滿足守恆。

這篇文章讓你直接移動兩球、調整速度方向並觀察碰後軌跡。撞球模式則把抽象的法線與切線分量放進熟悉情境，幫助理解碰撞力為什麼沿兩球心連線作用。

學完這篇文章後，你將能夠

學習目標

  • 將二維動量分解成 \(x\) 與 \(y\) 分量並分別套用守恆。
  • 辨認碰撞法線與切線方向。
  • 說明光滑球碰撞時，法線分量改變而切線分量保持不變。
  • 預測撞擊參數改變後兩球的飛行方向。
  • 連結撞球運動與近似完全彈性碰撞。

30 秒核心公式與概念速覽

同一個向量守恆式，可以拆成水平與垂直兩條互不混用的方程。

\(x\) 方向動量

$$ p_{x,\mathrm{before}}=p_{x,\mathrm{after}} $$

只比較各物體速度的水平分量。

\(y\) 方向動量

$$ p_{y,\mathrm{before}}=p_{y,\mathrm{after}} $$

垂直分量獨立守恆，不會和水平分量互相抵銷。

一句話掌握

光滑球的碰撞衝量沿兩球心連線，因此只改變法線速度分量，切線速度分量保持不變。

分量各自守恆

水平與垂直動量方程

$$ \begin{aligned} m_1v_{1x}+m_2v_{2x} &=m_1v_{1x}'+m_2v_{2x}' \\ m_1v_{1y}+m_2v_{2y} &=m_1v_{1y}'+m_2v_{2y}' \end{aligned} $$
  • 兩顆球的質量。
  • 速度在水平與垂直方向的分量。

法線與切線方向

碰撞瞬間，以兩球心連線為法線方向，垂直於它的方向為切線方向。光滑球之間沒有切向衝量，因此切線速度不變；法線方向則套用一維碰撞關係。

完全彈性碰撞的法線分量

$$ \begin{aligned} v_{1n}'&=\frac{(m_1-m_2)v_{1n}+2m_2v_{2n}}{m_1+m_2} \\ v_{2n}'&=\frac{(m_2-m_1)v_{2n}+2m_1v_{1n}}{m_1+m_2} \end{aligned} $$
  • 法線分量依一維彈性碰撞公式重新分配。
  • 切線分量保持原值。
  • 最後再把法線與切線分量合成碰後速度向量。

互動模擬實驗室

拖曳兩球的位置、設定速度大小與方向，觀察一般雙球碰撞；再切換撞球模式探索多球與邊界反射。

操作提示：先讓兩球正面相撞，再逐步增加偏心距離；切換撞球模式後，比較母球與子球的飛行方向。

操作任務與實驗步驟

  1. 建立正面碰撞

    讓兩球心與速度向量在同一直線，確認結果和一維碰撞一致。

  2. 增加撞擊參數

    上下移動其中一球，使碰撞逐漸偏心，觀察碰後方向如何改變。

  3. 分別核對兩個方向

    記錄碰撞前後的 \(x\)、\(y\) 動量總和，確認兩個方向都獨立守恆。

  4. 觀察法線與切線分量

    以碰撞瞬間的球心連線為法線，判斷哪些速度分量被改變。

  5. 切換撞球模式

    調整母球入射方向，嘗試讓子球沿指定方向移動，並觀察母球碰後路徑。

你應該觀察到什麼

01

分量守恆可分開檢查

碰後方向再複雜，所有物體的 \(x\) 動量總和與 \(y\) 動量總和仍各自不變。

02

偏心碰撞改變飛行方向

撞擊參數愈大，法線方向愈傾斜，兩球碰後的速度向量也會重新轉向。

03

碰撞衝量沿球心連線

光滑球沒有切向衝量，因此速度改變量沿法線方向。

重點整理

  • 二維動量守恆可拆成 \(x\)、\(y\) 兩條分量方程。
  • 兩個方向的動量分量必須分別守恆，不能混在一起抵銷。
  • 光滑球碰撞時，碰撞衝量沿兩球心連線。
  • 法線速度分量依一維碰撞公式改變，切線分量保持不變。
  • 撞擊參數會影響法線方向，因此決定碰後飛行路徑。

常見錯誤與迷思

延伸思考與挑戰題

  1. 等質量兩球中一球靜止，另一球以任意角度撞上，且為完全彈性碰撞。碰後兩球速度方向的夾角是多少？請用模擬器驗證。
  2. 在撞球模式中，能否找到讓母球撞擊子球後完全停住的條件？這和質量、撞擊方向及能量守恆有何關係？
  3. 若兩球為 \(e=0\) 的完全非彈性碰撞，碰後合體會往哪個方向移動？請使用總動量向量除以總質量求速度。