動量一直守恆，動能卻要看碰撞有多「彈」
一維碰撞
調整兩球的質量、速度與恢復係數，從速度交換、部分能量損耗到碰後黏合，直接比較碰撞前後的總動量與總動能。
這篇在解決什麼問題
一維碰撞的公式同時包含兩個質量、碰撞前後四個速度，以及不同碰撞類型。只看代數推導，很容易知道要代公式，卻無法預測重球撞輕球、等質量交換速度或兩物黏合時的實際運動。
這篇文章把質量、初速度和恢復係數交給你調整。你可以先預測碰後速度，再觀察動畫與即時數據，分清楚「任何孤立碰撞都守恆的動量」和「只有完全彈性碰撞才守恆的動能」。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 使用動量守恆連結碰撞前後的速度。
- 說明恢復係數 \(e\) 如何描述碰撞前後的相對速度。
- 區分完全彈性、一般非彈性與完全非彈性碰撞。
- 比較不同質量比對碰後速度分配的影響。
- 判斷碰撞中動量是否守恆，以及動能損耗多少。
30 秒核心公式與概念速覽
動量守恆提供一條方程；恢復係數再提供碰撞前後相對速度的關係。
動量守恆
系統合外力衝量可忽略時，任何碰撞類型都必須滿足。
恢復係數
\(=1\) 完全彈性；\(e=0\) 時兩物碰後沒有分離相對速度。
碰撞不會讓孤立系統的總動量消失，但可以把部分動能轉成熱、聲音與形變。
碰撞前後的動量
一維動量守恆
- 兩物體的質量。
- 碰撞前速度；本文取向右為正。
- 碰撞後速度。
恢復係數如何連結速度？
相對速度關係
- \(e=1\)：完全彈性碰撞，總動能守恆。
- \(0<e<1\)：一般非彈性碰撞，部分動能轉為其他形式。
- \(e=0\)：完全非彈性碰撞，兩物碰後速度相同。
兩個重要特例
完全彈性碰撞的碰後速度
若 \(m_1=m_2\)，則 \(v_1'=v_2\)、\(v_2'=v_1\)，兩球交換速度。
完全非彈性碰撞的共同速度
兩物碰後黏合，動能損耗達到在既定初始條件下的最大值。
互動模擬實驗室
設定兩球的質量、初速度與恢復係數，再觀察碰撞動畫、碰後速度、總動量和總動能。
操作提示：先用快速情境比較等質量、第一球較輕與第一球較重；再把 \(e\) 從 \(1\) 逐步調到 \(0\)，記錄碰後速度與動能。
操作任務與實驗步驟
-
建立等質量完全彈性碰撞
令 \(m_1=m_2\)、\(e=1\)，設定不同初速度，預測兩球是否交換速度。
-
逐步降低恢復係數
保持質量與初速度不變，依序比較 \(e=1\)、\(0.5\) 與 \(0\) 的碰後結果。
-
檢查總動量
每次碰撞前後記錄總動量，確認在數值誤差範圍內保持不變。
-
檢查總動能
比較不同 \(e\) 的總動能變化，找出何時守恆、何時損耗最大。
-
交換重球與輕球
比較 \(m_1\gg m_2\) 與 \(m_1\ll m_2\)，觀察哪個物體的速度改變最明顯。
你應該觀察到什麼
總動量始終守恆
只要外力衝量可忽略，改變 \(e\) 不會改變碰撞前後的總動量。
\(e\) 愈小，分離速度愈小
恢復係數降低時，碰後相對速度下降；\(e=0\) 時兩物具有共同速度。
動能不一定守恆
完全彈性碰撞保留總動能；非彈性碰撞則把部分動能轉為熱、聲音與形變。
三種碰撞的數值比較
下表保留原始文章的條件：\(m_1=m_2=2\ \mathrm{kg}\)、\(v_1=5\ \mathrm{m/s}\)、\(v_2=-3\ \mathrm{m/s}\)。
| 碰撞類型 | \(e\) | \(v_1'\)（m/s） | \(v_2'\)（m/s） | 動能損耗 |
|---|---|---|---|---|
| 完全彈性 | 1.0 | −3.0 | 5.0 | 0% |
| 一般非彈性 | 0.5 | −0.5 | 2.5 | 約 37.5% |
| 完全非彈性 | 0 | 1.0 | 1.0 | 約 75% |
重點整理
- 孤立系統的一維碰撞滿足動量守恆。
- 恢復係數比較碰後分離相對速度與碰前接近相對速度。
- \(e=1\) 時為完全彈性碰撞，總動能守恆。
- \(e=0\) 時為完全非彈性碰撞，兩物碰後速度相同。
- 不同質量比會改變動量與速度在兩物體間的分配。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 令 \(m_1=1\ \mathrm{kg}\)、\(v_1=6\ \mathrm{m/s}\)，\(m_2=3\ \mathrm{kg}\)、\(v_2=0\)，且 \(e=1\)。求碰後兩球速度，再用模擬器驗證。
- 在 \(m_1\gg m_2\) 的完全彈性碰撞中，輕球碰後速度大約如何？這和保齡球撞球瓶有什麼關聯？
- 使用上表條件，完全非彈性碰撞後共同速度為 \(1\ \mathrm{m/s}\)。請計算損耗的動能，並說明能量轉換到哪裡。