從箭頭縮短到反向，看懂最高點發生了什麼
鉛直上拋運動
把速度和加速度變成看得見的向量，再親手調整初速度、重力加速度與彈性係數，建立鉛直運動的時間與方向直覺。
這篇在解決什麼問題
鉛直運動在生活裡很好觀察，但只靠黑板上的靜態箭頭，仍然很難在腦海中連續勾勒速度向量的變化。球向上飛時為什麼愈來愈慢？到達最高點時，速度和加速度分別是多少？開始下落後，向量又如何改變？
這篇文章把位移、速度與加速度做成即時向量，並讓你自由調整重力加速度與地面彈性係數。你可以比較地球與月球上的拋球，也能在挑戰模式中根據目標高度反推初速度，用操作結果驗證公式。
學完這篇文章後，你將能夠
學習目標
- 觀察位移、速度與加速度向量的方向和大小如何隨時間變化。
- 說明物體在最高點的速度為零，但加速度仍然向下。
- 比較不同重力加速度對最大高度與飛行時間的影響。
- 說明彈性係數 \(e\) 如何影響每次反彈的速度損耗。
- 使用最大高度公式計算目標初速度，並透過挑戰模式驗證。
30 秒核心公式與概念速覽
取向上為正方向時，鉛直上拋可視為加速度固定為 \(-g\) 的一維等加速度運動。
速度與時間
上升時速度逐漸減少；通過最高點後，速度變成負值。
位置與時間
位置隨時間形成開口向下的拋物線。
速度與位移
不需要時間，就能直接連結速度與高度。
最高點只有瞬時速度 \(v=0\)；重力加速度仍為 \(-g\)，因此物體接著會向下加速。
如何求最大高度與目標初速度？
在最高點令 \(v=0\)，代入速度與位移關係式，就能得到最大上升高度；反過來也能依目標高度求出挑戰模式需要的初速度。
最高點條件
- \(t\) 時刻的速度，向上取正。
- 物體開始運動時的初速度。
- 重力加速度；地球約為 \(9.8\ \mathrm{m/s^2}\)，月球約為 \(1.62\ \mathrm{m/s^2}\)。
互動模擬實驗室
調整初始高度、初速度、重力加速度與彈性係數，觀察球體的運動軌跡及三種向量如何同步變化。
操作提示：先拖動滑桿設定初始條件，再點擊「開始模擬」。開啟挑戰模式後，可用 \(v_0=\sqrt{2gh}\) 計算理論值；誤差在 2% 內可得滿分。
操作任務與實驗步驟
-
觀察三種向量
調整初始高度與初速度，開啟位移、速度、加速度三種向量，觀察它們在上升、最高點與下落階段的變化。
-
改成向下拋出
把初速度設為負值，模擬物體從高處向下丟出的情境，比較速度向量與向上拋出時的差異。
-
比較地球與月球
使用相同初速度，將 \(g\) 從 \(9.8\) 調整為 \(1.62\)，比較最大高度與到達最高點所需時間。
-
改變地面彈性
調整彈性係數 \(e\)，觀察每次碰地後的反彈速度與後續高度如何改變。
-
完成目標高度挑戰
開啟挑戰模式，依系統給定的高度計算理論初速度，輸入後比較模擬結果與目標值。
你應該觀察到什麼
速度向量在最高點反轉
上升時速度箭頭逐漸縮短，到最高點瞬間消失，接著轉向下方並逐漸變長。
加速度始終向下
不論球體正在上升、瞬間靜止或向下落，加速度向量都維持向下。
重力愈小，飛得愈高也愈久
初速度相同時，較小的 \(g\) 會增加最大高度，也會延長到達最高點的時間。
跨星球比較
下表保留原始文章的比較條件：各天體皆使用 \(v_0=20\ \mathrm{m/s}\)。
| 天體 | \(g\)（m/s²） | 最大高度（m） | 到達最高點時間（s） |
|---|---|---|---|
| 地球 | 9.8 | 20.4 | 2.04 |
| 月球 | 1.62 | 123.5 | 12.35 |
| 火星 | 3.72 | 53.8 | 5.38 |
| 木星 | 24.8 | 8.1 | 0.81 |
重點整理
- 取向上為正時，鉛直上拋的加速度固定為 \(-g\)。
- 上升時速度逐漸減少；最高點速度為零；下落後速度方向轉為向下。
- 最高點的加速度不為零，重力仍持續改變物體的速度。
- 最大上升高度為 \(\Delta y_{\max}=v_0^2/(2g)\)。
- 減小重力加速度會增加最大高度並延長飛行時間。
常見錯誤與迷思
延伸思考與挑戰題
- 一顆球以初速度 \(30\ \mathrm{m/s}\) 向上拋出，取 \(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\)。請計算最大高度，以及從拋出到落回原位的總時間，再用模擬器驗證。
- 彈性係數 \(e=1.0\) 代表完全彈性碰撞，每次反彈速度不衰減。在現實中，為什麼這種情況不可能永遠持續？這與能量守恆有什麼關係？
- 挑戰模式給定目標高度 \(h=50\ \mathrm{m}\)，取 \(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\)。請用 \(v_0=\sqrt{2gh}\) 算出理論初速度，輸入模擬器並觀察得分與誤差。