簡諧運動：彈簧振子與參考圓

這篇在解決什麼問題

振子到達端點時速度為零，為什麼加速度反而最大？通過平衡點時速度最大，為什麼加速度又恰好為零？只背公式，這些關係很容易混在一起。

這篇文章把兩個原本分開的模擬器放在同一條學習路徑中：先觀察真實的彈簧振子，再用參考圓的投影解釋正弦形式與相位關係。

學完這篇文章後，你將能夠

學習目標

用恢復力與加速度判斷物體是否做簡諧運動。
說明位移、速度與加速度在端點及平衡點的大小與方向。
由質量與彈力常數計算角頻率及週期。
描述彈性位能與動能在振動過程中的互換。
用參考圓投影解釋簡諧運動的正弦形式與相位差。

30 秒核心公式與概念速覽

簡諧運動的關鍵不是「來回移動」，而是加速度永遠與位移成正比、方向永遠指向平衡點。

簡諧運動的判斷式

$$ a=-\omega^2x $$

負號代表加速度方向與位移相反，始終把物體拉回平衡點。

彈簧振子的週期

$$ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$

質量越大，振動越慢；彈簧越硬，振動越快。

一句話掌握

離平衡點越遠，拉回去的加速度越大；到平衡點時速度最大，接著慣性讓物體繼續前進。

彈簧振子的運動方程

由虎克定律連到簡諧運動

$$ \begin{aligned} F&=-kx=ma,\\ a&=-\frac{k}{m}x=-\omega^2x,\\ \omega&=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \end{aligned} $$

相對平衡點的位置；正負號表示所在方向。
振子的質量。
彈簧的彈力係數。

$x$ 從平衡點量起；在理想模型中忽略摩擦，且彈簧遵守虎克定律。

位置、速度與加速度

三個量共享同一個相位

$$ \begin{aligned} x(t)&=A\cos(\omega t+\phi),\\ v(t)&=-A\omega\sin(\omega t+\phi),\\ a(t)&=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi) \end{aligned} $$

振幅，也就是離平衡點的最大距離。
角頻率，單位為 $\mathrm{rad/s}$。
初相位，決定 $t=0$ 時振子位於週期中的哪個位置。

能量守恆

動能與彈性位能互換

$$ \begin{aligned} U&=\frac{1}{2}kx^2,\\ K&=\frac{1}{2}mv^2,\\ E&=K+U=\frac{1}{2}kA^2 \end{aligned} $$

無摩擦時總能量固定；端點全部是彈性位能，平衡點則全部是動能。

振子在三個代表位置的狀態
位置	位移	速率	加速度大小	能量狀態
右端點	$x=+A$	$0$	$\omega^2A$，向左	位能最大
平衡點	$x=0$	$A\omega$	$0$	動能最大
左端點	$x=-A$	$0$	$\omega^2A$，向右	位能最大

互動模擬實驗室

先從受力、運動圖與能量觀察彈簧振子，再切換到參考圓，找出兩種運動之間一一對應的幾何關係。

實驗一：彈簧振子

調整質量 $m$、彈力常數 $k$ 與振幅 $A$，比較週期、最大速度、最大加速度及能量柱狀圖。

操作提示：使用「停在平衡點」與「停在端點」，先比較 $x$、$v$、$a$，再看動能與位能。

實驗二：參考圓

把圓周運動質點投影到水平直線，觀察投影的位移、速度與加速度如何形成簡諧運動。

操作提示：依序跳到右端點、平衡點與左端點，並開啟速度、加速度和投影分量。圓半徑以畫面像素表示，重點是比例與方向。

操作任務與實驗步驟

比較端點與平衡點

在彈簧振子模擬器中分別按下「停在端點」與「停在平衡點」，記錄 $x$、$v$、$a$、動能與位能。
只改變質量

保持 $k$ 與 $A$ 不變，把質量調大，觀察週期是否增加，並用 $T=2\pi\sqrt{m/k}$ 解釋。
只改變彈力常數

保持 $m$ 與 $A$ 不變，把 $k$ 調大，觀察振動是否變快，以及總能量如何改變。
比較不同振幅

保持 $m$ 與 $k$ 不變，改變 $A$。檢查理想彈簧振子的週期是否改變，並比較最大速度與總能量。
用參考圓重建相位關係

在參考圓模擬器依序跳到右端點、平衡點與左端點，開啟各向量，對照第一個實驗的三個物理量。

你應該觀察到什麼

01

加速度永遠朝向平衡點

右側時加速度向左，左側時加速度向右；離中心越遠，加速度大小越大。

02

速度與加速度不會同時最大

端點的速率為零、加速度最大；平衡點的速率最大、加速度為零。

03

週期由質量與彈簧決定

在理想虎克定律範圍內，改變振幅不改變週期；增加質量使週期變長，增加 $k$ 使週期變短。

04

投影保留圓周運動的週期

參考圓轉一圈，水平投影完成一次往返，因此兩者有相同的角頻率與週期。

重點整理

簡諧運動滿足 $a=-\omega^2x$，加速度與位移成正比且方向相反。
彈簧振子的 $\omega=\sqrt{k/m}$，週期 $T=2\pi\sqrt{m/k}$。
端點速率為零、加速度最大；平衡點速率最大、加速度為零。
無摩擦時，動能與彈性位能不斷互換，總機械能固定。
等速率圓周運動在直徑方向的投影，就是一個簡諧運動。
位移與加速度反相，速度則與位移相差四分之一個週期。

常見錯誤與迷思

速度為零，不代表合力為零

錯誤：振子在端點停下來，所以端點的加速度也是零。
正確：端點只是瞬間速度為零，此時恢復力與加速度大小反而最大。
錯誤：振子通過平衡點時沒有受力，所以接下來會停在中心。
正確：平衡點當下合力為零，但物體已有最大速度，會因慣性繼續前進。
錯誤：所有週期性往返運動都是簡諧運動。
正確：還必須滿足恢復加速度與位移成正比且方向相反。
錯誤：參考圓上的質點真的就是彈簧上的物體。
正確：參考圓是數學模型；對應的是圓周運動在某一直徑方向上的投影。

延伸思考與挑戰題

若質量變成原來的 4 倍而 $k$ 不變，週期變成原來的幾倍？
若 $k$ 變成原來的 9 倍而 $m$ 不變，角頻率與週期各變成原來的幾倍？
保持 $m$ 與 $k$ 不變，把振幅加倍。最大速度、最大加速度與總能量各如何改變？
若初始時振子位於右端點，請依序畫出 $x$、$v$、$a$ 隨時間的圖，並標示第一個四分之一週期。
真實彈簧有阻力時，振幅會逐漸縮小。此時為什麼不能再說總機械能固定？